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作者: tp钱包安卓最新版
2024-03-07 18:23:09

DX修复工具下载_DirectX游戏运行库修复工具v3.9_3DM软件

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DirectX修复工具

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版本：3.9

语言：简中

更新：2019-11-11

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资源说明

大名鼎鼎得DX工具《DirectX》游戏运行库修复工具v3.9最新版，一键修复你的电脑在运行各种游戏时出现的“0xc0000***”等等的问题，是非常简单的修复工具，一键检测安装，欢迎有需要的用户前来下载使用！

软件简介

DirectX修复工具是一款专用于修复系统异常的工具，DirectX修复工具还是一款使用简单易上手操作且绿色、可免安装的修复工具。使用DirectX修复工具可自动更新C++组件且完美修复0xc000007b问题异常。如果你的电脑出现了DirectX的异常问题，可直接下载DirectX修复工具进行修复解决。

功能说明

1、本程序的主要功能是检测当前系统的DirectX状态，如果发现异常则进行修复。程序主要针对0xc000007b问题设计，可以完美修复该问题。本程序中包含了最新版的DirectX

redist(Jun2010)，并且全部DX文件都有Microsoft的数字签名，安全放心。

2、本程序为了应对一般电脑用户的使用，采用了傻瓜式一键设计，只要点击主界面上的“检测并修复”按钮，程序就会自动完成校验、检测、下载、修复以及注册的全部功能，无需用户的介入，大大降低了使用难度。

注意事项

根据电脑系统进行分类修复，需要用户选择自己电脑对应的系统安装EXE文件

使用说明

1、下载资源后在任意文件夹解压缩文件；

2、跟据自己的电脑系统选择对应exe文件，打开

3、点击右上角的检测并修复，等待即可；

常见问题

DirectX修复工具全部文件修复失败或下载失败的解决方法？

在使用DirectX修复工具时会出现如上图的修复失败问题，那你可以根据提示先运行打开DirectX修复工具，然后找到【工具】按钮点进去，选择【选项】按钮，选择【常规】找到

“安全级别” 。具体操作如下截图：

然后点击确定，重新检测并修复即可！

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导数符号中，dx 的含义是什么？ - 知乎

导数符号中，dx 的含义是什么？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学微积分高等数学数学分析导数导数符号中，dx 的含义是什么？关注者118被浏览331,321关注问题写回答邀请回答好问题 8添加评论分享12 个回答默认排序知乎用户首先，想到微积分，必须脑子里出现这样一幅图：概念的话dx就是把定义域的x范围无限分（微分）其中的一份如x1 到x2 这一小段就是dx。同理，dy就是值域的无限分为f(x2)-f(x1)。dy/dx 是f(x)一个微分成dx dy围成的小三角形的tan值。等同于导数值。但这只是宏观上的。如果微观的话，dy/dx与f(x)在m点的切线T斜率（也就是导数值）f'并不相等。中间差一个极小的值。如图。微观下，α角不等于ψ所以tan值也不等（导数值f' 为tan α，dy/dx的值为tanψ）。但这只是“艺术的夸张”，他们两个相差多少呢？请看下面的铁板:图里面的Δx处的面积就是tanα和tanψ的差值当dx无限小的话，右上角那一块小的比边上的那块长条型面积小得更“高阶”。因此通常实际上我们做题时基本可以把dy/dx与f(x)在M点的导数值画等号。为嘛要这样写？很多时候把f'(x)=dy/dx方便一些计算。因此你只要记住2点:1、dx表示一个对x轴一段的无限分割。2、导数里常见的f '(x)=dy/dx 积分里常见的f '(x)dx=dy反函数导数就是1/f '(x)=dx/dy等一系列转换可以方便计算和理解一些公式。（以上图都取自同济高数）编辑于 2018-11-28 09:02赞同 27621 条评论分享收藏喜欢收起高数变简单关注可以看看我做的视频讲解，相信看后你会懂！发布于 2019-03-06 11:57赞同 31添加评论分享收藏喜欢

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究竟如何理解 dx？ - 知乎

究竟如何理解 dx？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册高等数学数学分析高等数学 (大学课程)导数微分究竟如何理解 dx？在我的高数课本上，dx是在微分部分单独引入的，我一直将dx理解为一个趋向于0的x。在接下来的导数部分，课本上通过对dx的运算将dy/dx定义为导数。那…显示全部关注者59被浏览99,120关注问题写回答邀请回答好问题 111 条评论分享13 个回答默认排序知乎用户数学话题下的优秀答主很多高数书的解释虽然通俗，实际上却是扯淡。微分的严格定义是一个映射。对于函数f(x)，微分df定义为一个映射，它把h映射到f'(x)h。这样dx就是恒等映射。我们还可以定义微分映射的加法，数乘什么的。我们熟悉的dy/dx其实是映射的除法，就是把两个映射的值相除。这样就是y'(x)了。就酱(编辑于 2019-12-17 22:12赞同 4815 条评论分享收藏喜欢收起Cortaxiphan美银宝网络信息服务（上海）有限公司合规专员关注既然题主已经学过微分部分了，那我们就直接从微分角度入手。我们要明白是先有什么后有什么。首先第一个，我们有导数的定义(不再赘述)，手机打字就不打定义式了，现在设y是关于x的函数，y的导数就是y'然后我们来看微分，微分的定义是当Δx(x的增量)是一个无穷小量时，若Δy可以表示为AΔx+o(Δx)的形式，那么称y在x0点可微，这时候dy叫做y的微分，且dy=AΔx注意，微分的定义与增量的形式有区别，两者差了一个o(Δx)，增量是完完全全的等于，只有证明除了AΔx的部分是Δx的高阶无穷小时才能说AΔx是y的微分，而且dy是一个极限形式。再注意到，这里并没有用dx来代替Δx，微分的定义使用的就是Δx。我们再来看微分与导数的关系，一元函数可以通过导数的定义式证明若y可导则y一定可微，且满足Δy=y'Δx+o(Δx)即dy=y'Δx。接下来我们再看什么是dx，从微分的角度说dx是x的微分，令z=x，我们可以证明dx=dz=Δx，这样我们就有了两个式子dy=y'Δxdx=1Δx通过上述两个式子我们可以得出dy/dx=y'为什么dy/dx=y'，这是因为微分和导数的定义导致的(那不废话吗微分就是根据导数定义的)，不是因为dy/dx是一个符号，也不是因为d/dx是一个符号，不过确实d/dx可以作为一个算符使用，那也是后话了。所以针对楼主问题的答案，什么是dx，dx就是自变量的微分，它等于一个无穷小量，既然是自变量的微分，就可以进行各种运算，比如3dx=d3x一样。但是永远别忘了，有一个高阶无穷小的存在，很多定理的证明，都需要考虑这个无穷小量，就像链式法则的证明一样。发布于 2019-12-17 21:22赞同 585 条评论分享收藏喜欢

微分dx、dy表示什么含义？不定积分为什么含有dx？把一个量设为dx又是什么意思？ - 知乎

微分dx、dy表示什么含义？不定积分为什么含有dx？把一个量设为dx又是什么意思？ - 知乎首发于高数学习切换模式写文章登录/注册微分dx、dy表示什么含义？不定积分为什么含有dx？把一个量设为dx又是什么意思？巨大八爪鱼概述在微积分的学习中，初学者常常会有以下的疑问：（1）微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分？（2）不定积分的表达式∫f(x)dx 中，为什么要有dx？它有什么意义？（3）导数 dy/dx 是不是一个整体符号？微商到底是个什么东西？（4）为什么微分容易积分难？（5）在用微积分解决实际问题时，把一个量设为dx，是什么意思？这跟把一个量设为x的区别是什么？（6）向量点乘积分∫F(x)·dx应该如何理解？（7）为什么第二类曲面积分的被积函数都是dydz，dzdx，dxdy的顺序，换一换位置行不行？这些都是很基础的问题，然而无论是国内的高数教材，还是国外的《托马斯微积分》，都没有讲明白dx到底是一个什么东西，也丝毫没有提到不定积分里面为什么会有dx，而且这个dx还能参与各种运算！小学一年级的数学课本上，光认识1~10这十个数就花了半本书的篇幅，还有十以内的加减法等等，后面又花了一大把的时间来认识11~20，还有百以内的数，讲得非常清晰。一直到三年级上学期才把万以内的加减法学习完，等到完全学会整数的乘除法，已经是四年级的上学期了。可是到了大学，《高等数学》这门课却要在两个学期内学完。大学一门课程的内容，比高中三年一门科目的内容还要多！很多重要而复杂的概念就是几行字就解释完了，最多也就用几页纸来讲述。再加上老师讲得又快，课后练习题又少，能够学懂的人寥寥无几。微分才是微积分的主角，不是导数在高数课本上，是先花了很大的篇幅学习导数，包括导数的定义、导数的链式法则、求隐函数的导数等等。但最后只用了几页纸把微分这个概念简单提了一下。后面讲到了不定积分，说不定积分是求导的逆运算，例如：因为(x²+C)'=2x，所以∫2xdx=x²+C。因为(sinx+C)'=cosx，所以∫coxdx=sinx+C。因为(ln|x|+C)'=1÷x，所以∫(dx÷x)=ln|x|+C。（这里用除号不用分数线是为了强调这里是在做除法运算）那么，不定积分里面的dx是哪儿来的？既然它们互为逆运算，为什么偏偏不定积分会多一个dx？更奇怪的是，这个dx还能参与各种运算（例如作为被除数），还能变形！例如：∫√(x+1)dx=∫√(x+1)d(x+1)∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx事情的真相是，不定积分的逆运算不是求导，而是微分！因为d(x²+C)=2xdx，所以∫2xdx=x²+C。因为d(sinx+C)=cosxdx，所以∫coxdx=sinx+C。因为d(ln|x|+C)=dx÷x，所以∫(dx÷x)=ln|x|+C。导数并不是微积分的主角，微分才是微积分的主角。高数课本的做法有点本末倒置。如果令C=0，那么∫dx=x，可以明显看出微分和积分互为逆运算。微分式的含义简单地说，微分就是求近似值，积分就是求准确值。严格地说，微分是去掉高阶无穷小部分，求线性主部。积分就是把高阶无穷小找回来，得到原来真实的值。（下文中的“近似值”均为“线性主部”的口头化表达，两者是一回事，只是为了说得通俗易懂）若y=x²，则dy=2xdx，其含义是：y的改变量的近似值等于x的初值的两倍乘上x的改变量。那么dy÷dx=2x的含义就是：y的改变量的近似值除以x的改变量等于x的初值的两倍。d(ln|x|)=dx÷x的含义：ln|x|的改变量的近似值等于x的改变量除以x的初值。\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{dy}{dx} 的含义：当x的改变量趋于0时y的改变量的准确值除以x的改变量，等于任何情况下y的改变量的近似值除以x的改变量。（这个公式说明了微分的求法，后面会给出证明）请注意这句话的含义：（1）△y随△x的变化而变化，△x取值不同时，△y÷△x不是一个定值。（2）dy随dx的变化而变化，无论dx取多少，dy÷dx都是一个定值。（3）当△x趋于0时，△y÷△x的值趋于dy÷dx的值。微分学中规定（非复合函数）自变量的微分等于自变量的改变量（也叫增量），即dx=△x。（之所以这样规定，是因为假如函数X=自变量x，那么dX=dx，而不是dX≈dx）但△y表示函数值的改变量的准确值，dy表示函数值的改变量的近似值。微分的几何意义莱布尼茨微分三角形若函数y=x²，当自变量x的初值为5，x的改变量dx=△x=2时，x是由5变到7，函数值y则是由25变到49。此时y的改变量的准确值△y=49-25=24，但y的改变量的近似值dy=2xdx=2×5×2=20。函数y=x²在x=5处的微分记作 dy|_{x=5}=10dx 。注意：x²的微分必须写成d(x²)，不能写成dx²。微分运算的优先级高于乘方，先微分后乘方。dx²表示(dx)²，d²y÷(dx)²表示y的二阶微分除以x的改变量的平方。定积分就是已知近似值，求准确值。例如，已知y的改变量的近似值是2xdx，那么当x从5变到7时，y的改变量的准确值就是 \int_{5}^{7}2xdx=24 。其中2x叫做被积函数，2xdx叫做被积表达式。被积表达式的值为2×5×(7-5)=20，表示已知的近似值的具体数值。也就是说，在定积分中，被积表达式表示的是y的改变量的近似值，下限表示x的初值，上限表示x的末值，上限减去下限表示x的改变量，积分结果是y的改变量的准确值。注意：像 \int_{3}^{5}\frac{d(x^2-2x)}{\sqrt{5+(x^2-2x)^{2}}} 这样的积分表达式，规定上下限指的是x的值，这里d(x^2-2x)=(5^2-2\times5)-(3^2-2\times3)=12 ，被积表达式的值为 \frac{12}{\sqrt{5+(3^2-2\times3)^2}}=\frac{12}{\sqrt{14}} 。定积分用凑微分法，不用变上下限。但凑微分后，被积表达式的值会改变，因为已经有部分因式被积出来了，被积表达式的值（近似值）比以前更接近准确值了。利用定积分解决实际问题把某个量设为dx，意思是说，设一个未知函数y(x)，使这个量等于未知函数y(x)的自变量x的改变量。在实际问题中，近似值很容易写出来，但是精确值不容易直接写出来。有了定积分，我们就有办法根据近似值求准确值。换句话说，设x是在设未知量，最后要求的也是未知量x。但设dx是在设未知函数y(x)，先让一个已知量等于这个未知函数的自变量的改变量△x=dx，最后要求的是这个未知函数的函数值的改变量△y。dx本身其实是一个已知量，体现在定积分的上下限上，下限是自变量x的初值，上限是自变量x的末值，上限与下限之差就是自变量的改变量。最后要求的△y才是未知量。简单来说就是设已知改变量，求未知改变量。有的人可能就要问了，既然是已知量了，为啥还要设呢？首先，我们虽然设的是已知量，但是要求的是未知量，这个算是“间接设元”。设已知量，也可以理解为是用字母表示已知量。第二，dy和△y的值与x0（自变量x的初值）和dx有关，只有dx确定了，△y的值才能确定。例如，在下面的问题中，已知内环半径和环宽，要求圆环的面积。我们知道，长方形的面积等于长乘宽。长方形的两条长边是相等的，两条宽边也是相等的。圆环的环宽是处处相等的，但是外环长度和内环长度却是不相等的。如果我们要把圆环近似地看作是一个长方形的话，那么可以近似认为外环长度=内环长度，以内环长度作为长方形的长。环宽处处相等，可以作为长方形的宽。我们设环宽为dx，意思是设了一个未知函数y，使环宽等于这个函数的自变量的改变量（环宽是已知量，设dx设的是已知改变量）。那么长方形的面积（=内环周长×环宽）就是函数y的改变量的近似值，要求的圆环的面积就是函数y的改变量的准确值（求的是未知改变量）。当自变量x的初值为0，x的改变量为R时，内环周长为0，圆环就是圆，y的改变量的精确值就是圆的面积。y的改变量的近似值为0。我们之所以可以这样设，是因为，当环宽△x→0时，外环长度越来越接近内环长度，圆环的精确面积与近似的长方形面积之差，是比环宽△x更高阶的无穷小o(△x)。最后这个未知函数y(x)，实际上就是半径为x的圆的面积。微元法求圆的面积当自变量的改变量dx很小时，dy≈△y。那如果dx很大呢？dy是否还是△y的近似值呢？当然还是！这就好比，比邻星与地球的距离大约是40万亿公里，实际距离39924282594291公里（恒星和地球每时每刻都在不停地运动，所以这个数值是随时间不停变化的），近似值和准确值相差了75717405709公里，这个差距很大吧，但是因为“40万亿”这个数足够简洁，他仍然能称为近似值。同样的，只要dy是△y去掉了o(△x)后的线性部分，无论△x有多大，dy都是△y的近似值。“40万亿零1”、“40万亿零1万2345”就不够简洁，他们就不是近似值，所以dx+1，dx+2，dx-20就不是△y的近似值。通常情况下，dx越大，近似值dy与准确值△y的差距也就越大。这就类似于，恒星离地球的距离越远，距离的近似值与准确值的差距也越大。高数课本上有这样一段话：牛顿从运动学角度出发，以“瞬”（无穷小的“0”）的观点创建了微积分。他说dx和x相比，如同点和地球，或地球半径与宇宙半径相比。地球半径与宇宙半径相比，比值是多大呢？看看下面的数据，一起来认识一下1万亿以上的超大数。1万亿是1后面跟12个0，是13位数；1亿亿是17位数，1万亿亿是21位数，1亿亿亿是25位数。（1）（以下为2022年10月4日晚上的数据）太阳距离地球约为1.496亿公里水星距离地球约为1.27亿公里金星距离地球约为2.56亿公里月球距离地球约为36.7万公里火星距离地球约为1.14亿公里木星距离地球约为5.93亿公里土星距离地球约为13.79亿公里天王星距离地球约为28.23亿公里海王星距离地球约为43.33亿公里冥王星距离地球约为51.39亿公里（2）比邻星距离地球约为40.02万亿公里南门二距离地球约为41.53万亿公里天狼星距离地球约为81.36万亿公里南河三距离地球约为108.42万亿公里牛郎星距离地球约为158.28万亿公里织女星距离地球约为236.9万亿公里北落师门距离地球约为237.75万亿公里北河三距离地球约为319.58万亿公里大角星距离地球约为347.3万亿公里毕宿五距离地球约为630.46万亿公里北斗七星是由天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光组成的，它们距离地球约为1169.72、754.4、786.94、761.68、780.98、739.45、983.35万亿公里常陈一距离地球约为1042.48万亿公里室宿一距离地球约为1261.49万亿公里角宿一距离地球约为2362.72万亿公里北极星距离地球约为4092.43万亿公里参宿四距离地球约为4710.97万亿公里心宿二距离地球约为5238.88万亿公里开普勒452距离地球约为1.33亿亿公里盾牌座UY距离地球约为8.95亿亿公里（3）地球半径约为6371公里，直径约为12742公里银河系直径约为100亿亿公里仙女星系直径约为200亿亿公里，距离地球约为2403亿亿公里三角座星系直径约为56.76亿亿公里，距离地球约为2577亿亿公里草帽星系直径约为46.36亿亿公里，距离地球约为2.78万亿亿公里（4）宇宙中大约有1250亿个星系，一共2万亿亿颗恒星，可观测的宇宙直径约为8800万亿亿公里（5）阿伏伽德罗常量的值为6.022×10²³，也就是6022万亿亿“1.33亿亿公里”也可以读作“一亿三千三百万亿公里”，这是一个17位数。近似值与准确值的差距，可能是个16位数，也可能是个15位数，反正很大。（注意：虽然像0、1、2、3……这样的自然数看起来并不复杂，但是也是复数。所有的自然数、整数、小数、分数、负数都是复数！这是因为，实数是虚部为0的数，虚数是虚部不为0的数，而复数是实数和虚数的统称。要特指虚部不为0的数，也就是带i的数，请使用“虚数”这个词，不要把“复数”和“虚数”这两个概念混为一谈。）地球半径与银河系半径之比：6371:50亿亿≈1:78万亿地球半径与可观测宇宙半径之比：6371:4400万亿亿≈1:6906亿亿（这里拿恒星的距离举例子，是因为恒星的距离的近似值和准确值的差距非常明显，很有说服力。）讨论一个有意思的话题：为什么很多人会背π的数值，能够背到小数点后面几百位，甚至几万位，可是e的数值却没有几个人去背呢？笔者认为，用到π的地方，一般都是求圆的周长和面积，属于简单的乘除法。加减乘除四种运算都能列竖式笔算，不用计算器也能计算，所以记住π的数值非常重要。反观e，e这个数完完全全是微积分的产物，自然对数lnx也是专门为1÷x设计的，因为d(lnx)=(1÷x)×dx。在lnx中，e是出现在了对数底数的位置，对数又没法列竖式笔算，只能靠计算器计算，记住e的数值又有什么用呢？而且，在很多实际问题中，e往往都出现在乘方运算的底数位置，而且指数也不是整数，经常都是无理数，比如一阶线性微分方程的求解结果就是乘方形式，底数是e，指数是一个很复杂的代数式。类似的还有二极管的伏安特性公式，也是乘方运算，底数是e，而电压、温度什么的都在指数上！电容和电感的伏安特性公式，电容的充电时间，电感的充磁时间也差不多。这没有计算器怎么算啊！所以一般人记住e的数值2.718根本没什么用！相比较而言，电阻的伏安特性公式多简单啊，就是欧姆定律，电流等于电压除以电阻，简单的除法运算而已。可以这么说，凡是能见到以e为底数的乘方运算的地方，这个e一定是分式（如1÷x）积分产生的。电阻的伏安特性公式（欧姆定律）： I=\frac{U}{R} （I为电流，U为电压，R为电阻）电容的伏安特性公式： I=C\frac{dU}{dt} （C为电容，t为时间）电感的伏安特性公式： U=L\frac{dI}{dt} （L为电感）二极管的伏安特性公式： I=I_S(e^{\frac{U}{V_T}}-1) （ I_S 为反向饱和电流， V_T 为温度电压当量）电容电压与充电时间的关系： U=E(1-e^{-\frac{t}{RC}}) （E为电源电压，R为与电容串联的电阻的大小，C为电容容量），有了电压就可以得到电量或电场强度电感电流与充磁时间的关系： I=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}) ，有了电流就可以得到磁场强度或磁感应强度流过电阻的电流等于电阻两端的电压除以电阻的大小。我们还可以说，流过电阻的电流与电阻两端的电压成正比。流过电容的电流等于电容的大小乘上一段时间内电容两端电压的改变量的近似值除以这段时间，也就是电容的大小乘上电容两端的电压的变化率。我们还可以说，流过电容的电流与电容两端电压对时间的变化率成正比。电感两端的电压等于电感的大小乘上一段时间内流过电感的电流的改变量的近似值除以这段时间，也就是电感的大小乘上流过电感的电流的变化率。我们还可以说，电感两端的电压与流过电感的电流对时间的变化率成正比。在生活中，大部分量都是直接与另一个量成正/反比，比如买菜的时候，付款金额与所选菜的重量成正比。但在专业领域，比如物理学中，有很多很多物理量是与另一个量对第三个量的变化率成正/反比的。这样的量数不胜数。在生活中，大部分量都是数量，只有大小没有方向。但在专业领域，比如电磁学，大部分量都是向量，既有大小又有方向。在磁场里面甚至还经常会遇到两个向量相叉乘（就是向量积那个叉乘）的情况。接下来我们来看与圆环面积问题类似的另一个问题。如图所示有一个圆台，圆台的两条母线交于点O，其夹角的一半为θ=30°。由O点竖直向下建立x坐标轴。圆台的上底面位于x=5处，下底面位于x=8处。求圆台的体积V。解：设圆台的高为dx。也就是设未知函数V(x)，使函数自变量x在x=5处有△x=dx=3的增量。上底面的半径为xtanθ=5×tan30°=5√3/3，下底面的半径为(x+dx)tanθ=(5+3)×tan30°=8√3/3。当未知函数V(x)的自变量x在x=5处有圆台的高那么大的增量时，未知函数V(x)的函数值的增量△V为圆台的体积。把圆台近似看作圆柱，也就是把上、下两个底面近似看作相等，则圆柱的体积为圆台体积的近似值，是未知函数V(x)的函数值的增量的近似值dV。圆台体积的近似值=圆柱的体积=上底面的面积×高上底面的面积=π×(上底面的半径)²上底面的半径=上底面的x坐标×tanθ由此可得圆台体积的近似值dV=π(xtanθ)²dx=π×(5×tan30°)²×3=π×25≈78.5。圆台体积的准确值 \Delta V=\int_{5}^{8}\pi (xtan\theta)^2dx=\pi tan^2\theta\int_{5}^{8} x^2dx=\pi \times \frac{1}{3} \times \frac{512-125}{3}=43\pi\approx135.02。最后，未知函数 V(x)=\frac{1}{3}\cdot[\pi (xtan\theta)^2]\cdot x 是点O到x处的圆锥的体积。π(xtanθ)²是圆锥的底面积，x是圆锥的高。圆锥的体积=1/3×底面积×高。我们可以把上底面在x=5坐标处（下文简述为以5为上底面），下底面在x=8坐标处的圆台拆分成3个小圆台，拆分方式为将高平均分为3等分。当函数V(x)在x=x0处有△x的增量时，函数值的增量为△V，△V是以x0为上底面、x0+△x为下底面的圆台的体积。函数值的增量的线性主部（近似值）为dV，dV是以x0为上底面、△x为高的圆柱的体积。3个小圆台拼在一起就是原来的大圆台，3个小圆台的体积之和就是原来大圆台的体积，这可以用下面的等式表示。 \int_{5}^{8}\pi (xtan\theta)^2dx=\int_{5}^{6}\pi (xtan\theta)^2dx+\int_{6}^{7}\pi (xtan\theta)^2dx+\int_{7}^{8}\pi (xtan\theta)^2dx 大圆台可近似看作大圆柱，大圆台的体积（43π）近似等于大圆柱的体积（25π）。 \int_{5}^{8}\pi (xtan\theta)^2dx\approx \pi (xtan\theta)^2dx|_{x=5,dx=3} 3个小圆台也可以近似看作3个小圆柱，大圆台的体积（43π）约等于3个小圆柱的体积之和（约36.7π）。 \int_{5}^{8}\pi (xtan\theta)^2dx\approx \pi (xtan\theta)^2dx|_{x=5,dx=1}+\pi (xtan\theta)^2dx|_{x=6,dx=1}+\pi (xtan\theta)^2dx|_{x=7,dx=1} 大圆柱的体积（25π）虽然不等于3个小圆柱的体积之和（约36.7π），但是前者和后者都是圆台体积的近似值，后者比前者更接近准确值，近似程度更好。\pi (xtan\theta)^2dx|_{x=5,dx=3}<\pi (xtan\theta)^2dx|_{x=5,dx=1}+\pi (xtan\theta)^2dx|_{x=6,dx=1}+\pi (xtan\theta)^2dx|_{x=7,dx=1} 如果把原来的大圆台按高平均拆分成n个小圆台，且n→∞，那么就可以把约等号改成等号了。这也就是后面要讲的：大积分区间定积分的积分结果（∆y），等于拆分后的无数个小积分区间定积分的被积表达式的值（dy）的和。下面我们再来看一个稍微复杂一点的实际问题。这个问题涉及到了两个函数：F=F(r)，q=q(r)。问题：已知两个点电荷相互间的力的大小（库仑定律）为 F_{点电荷}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} ，其中q1、q2为两个点电荷的电荷量，r是两个点电荷间的距离，ε0是真空介电常数8.85×10^(-12)C²/(N·m²)。假如q1不是点电荷，而是一根长度为L=18米的带电木棍，求这个带电木棍与另一点电荷q2之间的相互作用力（库仑力）。为了方便思考（其实是为了暂时缩小近似值与准确值的差距），我们先从整个木棍上取一小块木棍AB，设A点的横坐标为r，AB的长度为dr，AB的电量为dq。那么B点的横坐标就是r+dr，这里设的dr就是某未知函数F(r)的自变量r的改变量。如果整个木棍的电量是q1=6×10^(-7)C，假设这根木棍的电量是均匀分布的，AB小木棍的长度是大木棍长度的 \frac{dr}{L} ，那AB小木棍的电量dq应该也是占同样的比例： dq=\frac{dr}{L}q_{1} 。（注意这里q1和L都是常数，两边积分可求出未知函数 q(r)=\frac{q_{1}}{L}r 是一个线性函数，所以△q=dq，近似值与准确值无差距）代入库仑定律的公式，得到 dF=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot\frac{q_{2}dq}{r^{2}}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot\frac{q_{2}}{r^{2}}\cdot\frac{dr}{L}q_{1} ，这个是小木棍AB与点电荷q2之间的作用力的近似值，是未知函数F(r)在自变量r有dr的改变量下，函数值F的改变量的近似值。公式中的距离r是A点的横坐标，dq是小木棍AB的电荷量。我们是把小木棍AB近似看作是一个与q2距离为r（A点坐标）的点电荷了。我们最终要求的不是小木棍的作用力，而是大木棍的作用力，所以dr=18米，自变量r是从4米（记作r0=4）改变到22米（记作r0+L=22）。因此 \Delta F=\int_{r_{0}}^{r_{0}+L}\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot\frac{q_{2}}{r^{2}}\cdot\frac{dr}{L}q_{1} 。请注意r0和r的区别。r0=4是题目中的常数，而r是函数F(r)的自变量。把所有的常数提到积分号外面，得到 \Delta F=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon_{0}L}\int_{r_{0}}^{r_{0}+L}\frac{1}{r^{2}}dr 。最后得到 \Delta F=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon_{0}L}(\frac{1}{r_{0}}-\frac{1}{r_{0}+L})\approx5.5205\times10^{-5}N ，这就是大木棍和点电荷的相互作用力的大小的精确值。另外，未知函数 F(r)=-\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon_{0}L}\cdot\frac{1}{r} ，这是一个关于r的反比例函数。这里面dq到底起什么作用呢？其实什么作用都没起到……因为在dF的第一个式子里面，只有分母上的r是变量，其余的都是常量。AB小木棍的电量其实也可以记成一个简单的字母，比如Q，是 Q=\frac{dr}{L}q_{1} 。区别是，设为Q是用字母Q表示小木棍的电量，就是简单地用字母表示数；设为dq的话，是设了一个未知函数q(r)，当自变量r在某处有dr的改变量时，函数值的改变量的近似值(dq)为小木棍的电量。定积分能找回高阶无穷小部分的原理为什么用定积分就能把微分时丢掉的高阶无穷小部分找回来？这其中有什么奥秘呢？还有，刚才说到被积表达式里面dx是上限减下限。可是在高数课本上讲曲边梯形的时候，△x不是划分的多个小区间的宽度吗？∫f(x)dx是以f(x)为高，以dx为底的若干个矩形面积之和的极限。这个怎么解释呢？要解释这两个问题，我们先来看看定积分的曲边梯形只划分一个小区间时的情况：划分一个小区间定积分求的是曲边梯形ABCD的面积，被积函数是f(x)，积分区间是10到18。只划分一个区间的话，划分的区间就是矩形ABCE。我们是用矩形ABCE的面积来近似代替曲边梯形ABCD的面积。这样一来，曲边梯形ABCD的面积就是某函数的增量的准确值，是定积分的计算结果。（由牛顿莱布尼茨公式可知这个“某函数”就是被积函数f(x)的原函数F(x)）矩形ABCE的面积就是某函数的增量的近似值，是我们写出来的被积表达式f(x)dx（长乘宽）。dx是矩形的宽度，也是曲边梯形的宽度，就是上限减下限，是某函数的自变量的改变量。当宽度△x→0时，曲边梯形和矩形面积之差，是比△x更高阶的无穷小o(△x)，简称高阶无穷小部分。这里再强调一遍，当△x很大时，曲边梯形的面积（准确值）和矩形的面积（近似值）相差是非常大的，但是没有关系，不管误差有多大，积分后都能完完整整地找回来，这点放心。实际问题中，写出近似值是很容易的，难就难在寻找准确值。有了定积分这个工具，只要我们找到了近似值，马上就能计算出准确值出来。那划分多个小区间又是怎么回事呢？划分多个小区间，就能把微分丢掉的高阶无穷小o(△x)找回来，还原成准确值。在定积分的定义式中，左边的dx和右边的∆xi到底是不是一回事呢？划分无数个小区间其实，划分多个小区间，本质上就是一个把上下限相差很大的积分，拆分成多个上下限相差较小的积分的和。上下限相差越小，∆x就越小，每个定积分里面的近似值和准确值相差就越小，最后的和就越接近准确值。丢掉的高阶无穷小部分就是这样找回来的。比如划分成四个小区间：划分四个小区间在第一个式子中，只划分了一个小区间，曲边梯形的面积约等于这个矩形小区间的面积。在第二个式子中，把原来区间为[10,18]的定积分，拆成[10,14]和[14,18]两个定积分的和，求两个定积分的和就是求两个曲边梯形面积的和。把这两个曲边梯形分别看作是两个长方形，其面积分别为f(10)×4和f(14)×4，相加后就是两个定积分的和的近似值。这个近似值之前更接近准确值了。在第三个式子中，把原来区间为[10,18]的定积分，拆成[10,12]、[12,14]、[14,16]和[16,18]四个定积分的和，划分了四个小区间。最后一个式子和第三个式子是等价的。在最后一个式子中，左右两边都是四项，左边的dx和右边的∆xi这才是一回事，都等于2。最开始那个定积分定义式，左右两边项数不相等，左边的dx和右边的∆xi并不是一回事。后来小区间的个数越划分越多，高阶无穷小部分慢慢就被填满了。当小区间的个数趋于无穷时，高阶无穷小部分被完全填满了，就成功找回来了。这就是定积分把微分时丢掉的高阶无穷小部分找回来的原理。其实，前面微元法求圆的面积跟这里差不多。求圆的面积的时候，x的初值是0，x的改变量是R，∆x太大，使得∆y和dy的差距很大。为了缩小差距，可以把圆划分成很多小圆环，把每个小圆环看作小长方形。也就是把一个积分区间很大的定积分，拆分成很多个积分区间很小的定积分的和，这样就能缩小每个小定积分的∆y和dy的差距，最后把所有的小定积分的dy值加起来，就很接近原来大定积分的∆y了。这样理解微元法，是不是简单多了？被积表达式与积分结果的关系就是：大积分区间定积分的积分结果（∆y），等于拆分后的无数个小积分区间定积分的被积表达式的值（dy）的和。这种通过划分多个小区间的方法计算定积分，是按定义计算定积分，被积表达式比较复杂的话计算起来很麻烦。所以后面发明了牛顿莱布尼茨公式，不用再划分多个小区间了，用不定积分把未知函数F(x)求出来，上下限代入进去一减，一步到位。为什么微分容易积分难？第一，微分是已知准确值，去掉高阶无穷小，求近似值。积分是已知近似值，找回高阶无穷小，求准确值。当然微分比积分容易了。把一个不规则图形近似代替成长方形容易，再变回来就难了。第二，微分是加减乘除都有拆分公式，而积分只有加减才有拆分公式，一旦遇到两个代数式一起乘除，积分就难了。微分的严格定义微分的严格定义：若Δy=AΔx+o(Δx)，则dy=Adx。其中A是与∆x无关的代数式。这里o(Δx)是比Δx更高阶的无穷小，是说这两个代数式有这样一条性质：当∆x→0时，o(∆x)和∆x都→0，且前者比后者更快→0。只是一条性质而已，抛开这个性质不谈，这两个代数式本身是关于∆x的函数，∆x是可以在其定义域上任意取值的，不一定非要是一个很小很小的数。这两个代数式的值也是如此。认识到这一点非常重要。话又说回来，当∆x→0时，o(Δx)是比Δx更高阶的无穷小，这个条件非常重要。不然的话，后面定积分通过不断减小积分上下限然后求和的方法（也就是划分多个小区间的方法）就不起作用了，无论怎么减小积分区间，准确值和近似值的误差丝毫不会减小，丢掉的o(∆x)就找不回来了。例如网上表情包证明的π=4。要求的是圆的周长，把圆的周长近似看作是它的外切正方形的周长。圆的周长是准确值π=3.14……，外切正方形的周长是近似值4，准确值与近似值相差-(4-π)。接着开始缩角、折角，记次数为n。当n→0时，圆的周长与外切图形的周长之差（准确值与近似值之差）始终是-(4-π)，并不是比△x更高阶的无穷小o(△x)，所以丢掉的部分找不回来，从而得出π=4的错误结论。证明π=4的表情包怎样理解微商的表达式dy/dx微商的表达式dy÷dx是一个除法算式，被除数是dy，除数是dx。定积分的被积表达式f(x)×dx是一个乘法算式，f(x)和dx是其中的两个因数。加减法很好理解。加法是指将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。减法是一个数中去掉另一个数的运算。关键是这里是乘除法，而且不是两个具体的数的乘除法，而是两个代数式的乘除法，很不好理解。我们先来回顾一下两个具体的数的乘除法的意义，特别是有小数、分数和负数参与运算的情况。2×5：表示两个5相加，也就是5+5。中英文语序是不一样的，在中文里面“2乘以5”是5个2相加，在英文里面“2 times 5”是2个5相加。乘法有交换律，顺序是什么都没有关系的。中文课本和英文课本里面a×b的定义刚好是相反的。-2×5：表示-2个5相加，换句话说就是两个5相减，也就是0-5-5=-10。(-3)×(-4)：表示3个-4相减，也就是0-(-4)-(-4)-(-4)=12。(-1)×(-1)：表示一个-1相减，也就是0-(-1)=1。（类似地，2的3次方表示3个2相乘，也就是2×2×2=8，2的-3次方表示3个2相除，也就是1÷2÷2÷2=0.125）2×3.8：表示两个3.8相加，也就是3.8+3.8。3.8×2：3.8个2相加。表示3个2相加后，再加上2的十分之八。-3.8×2：3.8个2相减。表示0减去3个2后，再减去2的十分之八。小数的意义：用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数叫做小数。把一个整体平均分成10份，100份，1000份……这样的1份或几份是十分之几，百分之几，千分之几……像这样的分数可以用小数表示。0.8表示十分之八，0.80表示一百分之八十，0.800表示一千分之八百。在小数部分的末尾添上或去掉零，小数的大小不变，但是意义变了。小数点后的数位为十分位、百分位、千分位……一个最简分数可以被化作十进制的有限小数当且仅当其分母只含有质因数2或5或两者。理解了小数的意义，“3.8个2相加”就不难理解了。类推二进制小数的意义：用来表示二分之几、四分之几、八分之几、十六分之几……的数叫做二进制小数。把一个整体平均分成2份，4份，8份，16份……这样的1份或几份是二分之几，四分之几，八分之几，十六分之几……像这样的分数可以用二进制小数表示。0.1表示二分之一，0.10表示四分之二，0.11表示四分之三，0.100表示八分之四，0.101表示八分之五。小数点后的数位为二分位、四分位、八分位、十六分位……小数点前的数位为个位、二位、四位、八位、十六位……一个最简分数可以被化作二进制的有限小数当且仅当其分母只含有质因数2。例如十进制的0.1的最简分数是1/10，因分母10=2×5含有质因数5，所以十进制的0.1化成二进制小数后不是有限小数，而是无限循环小数。二进制补码的最高位通常是符号位，0为正，1为负。例如，110101的最高位是三十二位，剩下的数字10101为21，所以110101表示-32+21=-11，再如1110.1表示-8+6.5=-1.5，1110表示-8+6=-2，1111表示-8+7=-1，1111.1表示-8+7.5=-0.5。如果二进制补码是负数（最高位为1），那么在这个数前面添上1或去掉1，数的大小不变。例如，101表示-4+1=-3，1101表示-8+5=-3，11101表示-16+13=-3……小数点移动引起小数大小的变化：十进制小数的小数点向左移动一位，则数的大小缩小到原来的十分之一；十进制小数的小数点向右移动一位，则数的大小扩大到原来的十倍。二进制小数的小数点向左移动一位，则数的大小缩小到原来的二分之一；二进制小数的小数点向右移动一位，则数的大小扩大到原来的两倍。(3/4)×2：表示求2的3/4是多少。（一个数乘一个分数，就是求这个数的几分之几）72÷8：把72平均分成8份，每一份的大小。72÷7.5：把72平均分成7.5份，每一份的大小。分成7.5份是什么意思呢？就是说前面7份都是一样的，只是最后一份是半份（0.5份）。72÷7.572÷0.4：把72平均分成0.4份，每一份的大小。“每一份”是每1.0份的意思。也就是说把72看作0.4份，那么1.0份到底有多大呢？请看下图：72÷0.4因此就有了“对应量除以对应分率等于单位一”的说法。-72÷8：-72是在数轴原点的左边，把-72平均分成8份，每1份就是-9。72÷(-8)：把72平均分成-8份，每1份的大小。-8是在数轴的左边，就要把8个实线框画在数轴原点的左边，一个虚线框画在数轴原点的右边。把72平均分成-8份后，每-1份是9，是位于数轴原点左边的实线框。那每1份就是-9了，是位于数轴原点右边的虚线框。有一个很重要的知识点：求一个数是另一个数的几分之几，要用除法。求a数是b数的几分之几，用a÷b得到 \frac{a}{b} ，那么a数就是b数的 \frac{a}{b} 。这是为什么呢？因为刚才提到了，一个数乘以一个分数，就是求这个数的几分之几，比如 \frac{a}{b}\times x=y ，就是说x的\frac{a}{b}是y。现在要反过来求y是x的几分之几，那不就应该用除法吗？ y\div x=\frac{a}{b}，y占x的 \frac{a}{b} 。总的来说，乘法的主要意义是（1）表示多个相同的数连加（2）将一个数扩大到指定的倍数。除法的主要意义是（1）将一个数平均分成指定份数后，求每一份的大小（2）求一个数里面有多少个另一个数。注意小数是表示十分之几、百分之几、千分之几……的数，是一种特殊的分数。负数是表示（跟正数）相反意义的量。假如+2表示向东走2米的话，那么-3就表示向西走3米，这个好理解吧。到了初中和高中阶段，再到大学学习高等数学时，经常都是很多个量（至少三、四个）一起连续相乘，而且乘号还是省略的！这个时候早就忘记乘法是什么意义了，也不知道为什么会有这么多量连续相乘，连小数的意义也搞忘了，只知道有小数这种数的存在了。这就是笔者的感叹！很多物理公式都是乘法或者除法的形式，这是怎么得来的呢？其实是归功于“正比例”和“反比例”这两个概念。物理学家先是通过实验，发现不管做多少次实验，某两个量的积或商总是一定的，从而断定他们有正比或者反比关系，确定比例系数（通常都是1）后，就得到了乘法或除法形式的公式。多个乘法形式的公式一起联用，就出现了多个数连续相乘的现象。正比例的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也跟着变化，如果它们的商总是一个定值，则这两个量是成正比例的量。反比例的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也跟着变化，如果它们的积总是一个定值，则这两个量是成反比例的量。用字母表示数，可以把数或数量关系简明地表示出来。我们在公式与方程中都用字母表示数，这给运算也带来了方便。“用字母表示数”是代数的基础，从最初步的意义上来说，“表示数”就是“代表数”的意思。用字母表示数后，就会变得抽象一些了：2×x：表示两个x相加。x×2：表示x个2相加。f(x)×dx：表示f(x)个dx相加。把曲边梯形近似看作是一个长方形后，f(x)×dx的积表示近似的长方形的面积。x÷2：表示把x平均分成两份。x÷(-2)：表示把x平均分成“负二（-2）”份后，每“正一（+1）”份的大小。2÷x：表示把2平均分成x份。x÷y：表示把x平均分成y份。dy÷dx：表示把“y的改变量的近似值”分成“x的改变量”那么多份。从莱布尼茨微分三角形上看，dy÷dx的商刚好是三角形斜边的斜率，是曲线在x的初值点处的斜率，这个商叫做微商。代数的本质就是用字母表示数，让字母和数一起参与运算。dx，dy这些符号，本质上也是代数符号，都是用来表示数的。微分的求法的证明微分的求法是：若y=f(x)，则dy=f'(x)dx，其中 f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} 。因为微分是微积分的主角，所以这个定理是微分学里面最基本、最重要的定理。这里尽可能用通俗易懂的语言讲解一下这个定理究竟是怎么一回事情，请大家一定要认认真真阅读并理解。要证明这个结论，我们先将平均斜率与瞬时斜率之差记为g(△x)，即 g(\Delta x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x) 。平均斜率的大小与△x的取值有关。 \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(\Delta x)} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{[\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x)]} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}-\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f'(x)} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}-\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{(\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}})} 被减数是一个与△x无关的极限值，而减数有两层lim，内层的lim算出来就等于被减数而且与△x无关，那外层的lim就没有用了（就好比 \lim_{x \rightarrow 0}{5}=5 ）。所以被减数=减数，差为0，于是 \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(\Delta x)}=0 ，这说明g(△x)是当△x→0时的无穷小。换句话说就是，当△x趋于0时，平均斜率与瞬时斜率之差也趋于0。另外，△x本身也是当△x→0时的无穷小：\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\Delta x}=0。平均斜率乘△x是函数增量的准确值，瞬时斜率乘△x是函数增量的近似值，那么g(△x)△x就是函数增量的准确值与近似值之差。 \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(\Delta x)\Delta x} =[\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(\Delta x)}]\cdot(\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\Delta x}) =0\times0 =0 所以g(△x)△x也是当△x→0时的无穷小。换句话说就是，当△x趋于0时，函数增量的准确值与近似值之差也趋于0。因为\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(\Delta x)\Delta x}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(\Delta x)}=0 ，所以当△x→0时g(△x)△x是比△x更高阶的无穷小，g(△x)△x可用高阶无穷小符号o(△x)表示。而g(\Delta x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x)，移项得到 \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+g(\Delta x) 。两边同乘△x，得 \Delta y=f'(x)\Delta x+g(\Delta x)\Delta x 。即\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)。根据微分的定义，g(△x)△x是高阶无穷小的话，那f'(x)△x就是线性主部，所以dy=f'(x)dx。这里再次强调一遍，微分里面的dx是可以任意取值的，想怎么取就怎么取，而且可正可负。dx就是一个代数符号，就是在用字母表示数而已（请认认真真复习一下小学五年级学的用字母表示数那一节课）。很多人都误以为dx是一个无限接近0的东西，并且不能直接等于任何数字，因为它是个无穷小量，这种想法是完全错误的。我们说某个量是无穷小量，一定是要加上“当…时”的条件的。比如，当x→1时，lgx是无穷小；当dx→0时，dy是无穷小。我们不能什么条件都没有就直接说lgx是无穷小，甚至说lgx只能取接近于0的数，更不能认为lgx是一个无限接近0的东西而且与任何接近0的数包括0本身都不相等。事实上，当x=10时，lgx=1，当x=1亿时，lgx=8。lgx是可以任意取值的！另外还有人认为dx可以取很接近0的数但不能取很大的数（比如1、25等等），理由是dx取大了的话dy跟△y的差距太大，不符合微分的定义。这种想法也是错误的。dy就是△y的线性主部而已！太阳与地球的距离为1.49亿公里，取近似数约等于1亿公里，这个近似数和准确数的误差已经达到了30%，但是1亿公里足够简洁，符合小学四年级讲的“省略万、亿后面的尾数取近似数”的方法，这是完全没有影响的。dy这种取近似数的方法也是一样的道理。取近似数的方法也不止一种，比如考虑保留多少位小数，考虑是省略万后面还是亿后面的尾数，甚至说我换个单位，把公里换成光年，光分，或者换成求地月距离的多少多少倍，或者说孙悟空翻筋斗云要翻多少下等等。不同的取近似数的方法，近似数与实际数的差距也不一样。dy也只是其中一种取近似数的方法而已，取的是某一变化量里面的主要变化部分。例题：求d(sinx)。解： \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{sin(x+\Delta x)-sinx}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2cos(x+\frac{\Delta x}{2})sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}} （和差化积公式） =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{cos(x+\frac{\Delta x}{2})sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}} （分子分母同时除以2） =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{cos(x+\frac{\Delta x}{2})}\cdot\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}} （极限的乘法法则） =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{cos(x+\frac{\Delta x}{2})} （重要极限1的值为1） =cosx 所以dy=cosxdx。两个微分式相等的含义如果y=x²，则dy=2xdx，即y的改变量的近似值，等于自变量初值的两倍乘上自变量的改变量。如果这个式子两边再乘上一个y(x)，变成ydy=2x³dx，最左边那个y表示的是y在x初值处的函数值，其实就是y的初值。即y的初值乘上y的改变量的近似值，等于自变量初值的立方的两倍乘上自变量的改变量。例如，若自变量的初值x=3，自变量的改变量dx为6，则最左边那个y=y(3)=9，dy=2xdx=2×3×6=36，ydy=9×36=324，2x³dx=2×27×6=324，两个微分式是相等的。两边不定积分：\int ydy=\int 2x^3dx => \frac{y^2}{2}=2\cdot\frac{x^4}{4} =>y=x²两边定积分\int_{9}^{81} ydy=\int_{3}^{9} 2x^3dx=3240左边上限81=y(9)=9²，下限9=y(3)=3²；右边上限9=x的初值+dx=3+6，下限3=x的初值。9是y的初值，81是y的末值。左边定积分\int_{9}^{81} ydy表示的是y从9变到81后，ydy的原函数的改变量的准确值。定积分里面的dy仍然等于36，被积表达式ydy的值为324。上限81减下限9=72是△y的值，不是dy的值。y△y的值才是9×72=648。定积分里面出现了△y≠dy的现象，并且上下限之差指定的是△y，不是dy。这是复合函数导致的问题，简单来说就是ydy存在一个原函数z(y)，而y(x)本身也是函数，z就是一个复合函数z[y(x)]，y成了这个复合函数的中间函数，中间函数是不满足△y=dy的，这个后面再来详细分析。复合函数的微分的理解我们知道，一阶微分是具有形式不变性的。例如，若y=y[u(x)]，那么dy=y'_{x}dx=y'_{u}du，du=u'_{x}dx。若y=sin(x²)，那么dy=cos(x²)d(x²)=cos(x²)·2xdx=2xcosx²dx。这里dx是自变量x的改变量，dx=△x。但u也是y=y(u)的自变量，那么du是否等于△u呢？显然是不等于的。因为在上面的例子中，u=u(x)=x²，y=y(u)=sinu。du=2xdx，而△u=(x+dx)²-x²=2xdx+(dx)²。所以，虽然u是函数y=y(u)的自变量，但是du≠△u。这是因为u是复合函数y[u(x)]的中间函数。我们还是拿上一节的ydy=2x³dx这个式子来举例子。如果ydy的原函数是z，即ydy=dz，这个z同时也是2x³dx的原函数，dz=ydy=2x³dx。因此，z是一个复合函数：z=z[y(x)]。z(y)=y²/2，y(x)=x²，z(x)=z[y(x)]=\frac{x^4}{2} 。对于y(x)=x²这个中间函数，当x=3，△x=dx=6时，△y=72，dy=36。△y≠dy。对于z(x)=\frac{x^4}{2}这个最终函数，当x=3，△x=dx=6时，△z=3240，dz=2x³dx=324。对于z(y)=y²/2这个中间函数，当y=y(3)=9，dy=36时，dz=ydy=9×36=324。虽然y是这个中间函数的自变量，但是y的实际改变量△y是72，而dy取的值是36。△y≠dy。通过这个例子我们发现，一个函数的自变量的微分，不一定等于自变量的改变量的准确值。△x=dx这个条件是人为规定的，仅当x不是函数时才能这样规定。当某个问题中只有z(y)=y²/2这一个函数，我们才可以人为规定△y=dy=72。所以在微分式里面我们一律用d这个符号，最好不要用△符号。我们需要注意一下复合函数的导数（微商）表达式：若y=y[u(x)]，则 \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} ，即dy÷dx=dy÷du×du÷dx。也就是说复合函数求导，就是在微商表达式上先除以中间函数的微分，再乘回来。我们来看一个实际问题，加深一下理解。（提示：生活中能用到微积分的实际问题很少，最多也就是数列求和，即求某个数列的前n项和，例如求前n个月的房贷利息总和。但是积分是在一个连续函数的某个区间内求和。数列的下标是离散的非零自然数，而函数的自变量却可以是全体实数。微积分主要运用于专业领域，求解专业问题，例如运动学，天体力学，电路分析等等。）问题：质量为m=4的物体在力F(x)=2x+5的作用下，沿x轴作变速直线运动，字母x代表物体的x坐标。初速度v0=5，求物体从x=0（初位置）运动到x=10时的速度。解：根据牛顿第二定律F=ma，可列出加速度的等式 a=\frac{dv}{dt}=\frac{F(x)}{m}=\frac{2x+5}{4} 。这是一个关于未知函数v(t)的微分方程。然而等式左边是对函数v(t)求导，右边是一个关于x=x(t)的式子。x(t)是一个未知函数，我们没有办法直接求解这个方程。 \frac{dv}{dt}=\frac{2x(t)+5}{4} 我们可以把函数v(t)看作是复合函数v[x(t)]，此时x就成为了函数v的新自变量，记作v(x)，而x又是t的函数x(t)。这样一来，就可以利用复合函数的求导公式得到 \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt} ，即v[x(t)]先对x求导，x(t)再对t求导，最后相乘。这个时候刚好又有物理公式 \frac{dx}{dt}=v ，也就是速度等于位移对时间的导数，于是 \frac{dv}{dt}=\frac{vdv}{dx} 。原来的等式变为 \frac{vdv}{dx}=\frac{2x+5}{4} ，这下就有办法求解微分方程了。两边同乘dx（这个方法数学上称为分离变量），得 vdv=\frac{2x+5}{4}dx 。两边积分。初速度为5，末速度为v。初位置为0，末位置为x，得\int_{5}^{v}vdv=\int_{0}^{x}\frac{2x+5}{4}dx。 \frac{v^2-25}{2}=\frac{x^2+5x}{4} 最后求得未知函数 v(x)=\sqrt{\frac{x^2+5x+50}{2}} 。函数v(x)的意义为“物体运动到x位置时的速度”，v(10)就是x=10时的速度。v(10)=10。（提示：实际问题中，物体可能会多次运动到同一位置，且每次的速度都不相同，因此v(x)有可能是一个多值函数。但在本题中，时间t不允许为负，v(x)是一个单值函数。）答：物体从x=0运动到x=10时的速度为10。求出了v(x)，我们就有办法求出中间函数x(t)，再把x(t)的式子代入v(x)，进而求出复合后的函数v(t)。题目没有给出初始时间，也就是物体在x=0位置时的时间，就假设初始时间为0吧。位移对时间求导就是速度（ \frac{dx}{dt}=v ），所以\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{x^2+5x+50}{2}}，变形得到 dt=\sqrt{\frac{2}{x^2+5x+50}}dx 。两边积分，0时刻的位置为0，t时刻的位置为x，则 \int_{0}^{t}dt=\int_{0}^{x}\sqrt{\frac{2}{x^2+5x+50}}dx 这样就能把t(x)求出来，当然这是一个非常复杂的函数。x(t)是t(x)的反函数。函数x(t)的意义为“t时刻物体所处的位置”，函数v(t)的意义为“t时刻物体的运动速度”。刚才题目中出现了这样一个等式：vdv=\frac{2x+5}{4}dx。这个式子的含义是：v的初值乘上v的改变量的近似值，等于x初值的两倍加上5除以4再乘上x的改变量。我们来验证一下这个说法是否正确。x的初值为0，末值为10，改变量为10。v的初值为5，v的改变量的近似值dv是多少呢？v(x)=\sqrt{\frac{x^2+5x+50}{2}}dv=d(\sqrt{\frac{x^2+5x+50}{2}})=\frac{d(\frac{x^2+5x+50}{2})}{2\sqrt{\frac{x^2+5x+50}{2}}}=\frac{x+\frac{5}{2}}{2\sqrt{\frac{x^2+5x+50}{2}}}dx 代入x=0、dx=10，得 dv=\frac{\frac{5}{2}}{2\times5}\times10=\frac{5}{2} ，即v的改变量的近似值dv是 \frac{5}{2} 。vdv= \frac{25}{2} ， \frac{2x+5}{4}dx=\frac{5}{4}\times10=\frac{25}{2} ，原等式成立，所以说法是正确的。链式法则的局限性我们知道，复合函数的导数（微商）具有链式法则：\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}。但是这个链式法则只能用于复合函数上，不能用于两个完全不相关的函数之间。比如现在有一组函数：y(x)=x²，z(t)=sint，x(t)=e^t。那么 \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dz}{dt} 和 \frac{dy}{dt}\cdot\frac{dz}{dx} 是否相等呢？如果从函数在某一点处的微分来看，这四个量单取定值的时候，可以认为两式是相等的。例如当x=1，t=π，dt=-π/2时，dx=e^tdt=-\frac{\pi e^\pi}{2} ，dy=2xdx= -\pi e^\pi ，dz=costdt=π/2。 \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dz}{dt}=\frac{-\pi e^\pi}{-\frac{\pi e^\pi}{2}}\times\frac{\frac{\pi}{2}}{-\frac{\pi}{2}}=2\times(-1)=-2 \frac{dy}{dt}\cdot\frac{dz}{dx}=\frac{-\pi e^\pi}{-\frac{\pi}{2}}\times\frac{\frac{\pi}{2}}{-\frac{\pi e^\pi}{2}}=-2 \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dz}{dt}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dz}{dx}=-2 但是如果从函数在任意一点处的微分来看，两者就不相等了。因为 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\times\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}}\ne\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}}\times\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\Delta z}{\Delta x}} 。y(t)=y[x(t)]= e^{2t} x(t)=e^t的反函数t(x)=lnxz(x)=z[t(x)]=sin(lnx)dy=2xdx= 2e^{2t}dt dz= \frac{cos(lnx)}{x}dx =costdtdy÷dx=2xdy÷dt= 2e^{2t} dz÷dx= \frac{cos(lnx)}{x} dz÷dt=cost取x=1，t=π。 \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dz}{dt}=(dy\div dx)\times(dz\div dt)=2x\cdot cost=-2 \frac{dy}{dt}\cdot\frac{dz}{dx}=(dy\div dt)\times(dz\div dx)=2e^{2t}\cdot \frac{cos(lnx)}{x}=2e^{2\pi} -2是负数，2e^{2π} 是个正数，这肯定不相等。所以链式法则也不能随便乱用。这个例子也不是说微商不能看成除法，只能说是函数的微分之间的乘除法不满足某些运算定律。dy÷dx=2xdx÷dx=2x，这个没有理由说不能相除！dy÷dt=2e^{2t}dt\div dt=2e^{2t}也是同样的道理，除肯定是能除。只不过，微分的乘除法不满足下面的运算定律。(dy÷dx)×(dz÷dt)≠(dy÷dt)×(dz÷dx)数的乘除法的运算定律(a÷b)×(c÷d)=(a÷d)×(c÷b)无法推广到微分式而已。但是下面的运算定律是满足的。dy÷dx=dy÷du×du÷dx（先除后乘）=(dy÷du)×(du÷dx)（添括号）两个微分式相除是我们定义出来的一种运算，数的某些运算定律不能推广到微分式是很正常的。就好比，向量的数量积不满足结合率(a·b)·c≠a·(b·c)并不意味着这种情况下a·b不能看成点乘运算。矩阵乘法不满足交换率并不能说明AB不能看成乘法运算。向量的点乘积分没想到吧？大学物理里面做了那么多涉及到定积分的实际问题，设的dx原来是某未知函数的自变量的改变量（已知量），微元法近似代替出来的长方形是某未知函数的改变量的近似值（dy，已知量），最后定积分求的是某未知函数的改变量的准确值（△y，未知量）。不过，整个解题过程都从来不会提到这个未知函数。这个未知函数就隐含在我们设的dx里面。我们设某个量为dx，其实就是设了一个未知函数出来。也就是说，整个微积分都是在和自变量与函数的增量打交道。那物理书上经常见到的，一个向量点乘上另一个向量的微分（∫F·dx），这样的被积表达式该怎么理解呢？为啥是点乘呢？首先，向量与向量相乘，中间的乘号不能省略，要么是点乘，要么是叉乘。这里F(x)是一个向量函数，自变量是一个向量，函数值也是一个向量。自变量的改变量dx也是一个向量，所以F和dx相乘，中间的点乘号不能省略。向量可以用坐标表示出来。设x=(x,y)，F(x)=(f(x,y),g(x,y))，那么dx=(dx,dy)。∫F·dx=∫(f(x,y),g(x,y))·(dx,dy)根据向量点乘的运算法则(a,b)·(c,d)=ac+bd可知∫F·dx=∫(f(x,y),g(x,y))·(dx,dy)=∫f(x,y)dx+g(x,y)dy这个是高数下册里面讲的第二类曲线积分。因此，向量点乘的定积分，其实是第二类曲线积分。这个秘密，在大学物理书上可不会告诉你。如果F(x)是一个空间向量函数，且x=(x,y,z)，那么F·dx展开后是f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz，这个是空间中的第二类曲线积分，仍然是曲线积分，不是曲面积分。第二类的曲线积分的要求是曲线上的每个点都有方向，而且必须是切向，要么水平向前，要么水平向后，另外每一个点还要有一个函数值(f,g)或(f,g,h)，其中f,g,h是函数f(x,y)、g(x,y)或f(x,y,z)、g(x,y,z)、h(x,y,z)。第二类的曲面积分的要求是曲面上的每个点都有方向，而且必须是法向，要么垂直向上，要么垂直向下，另外每一个点还要有一个函数值(f,g,h)。还有，静电场那一章里面提到的线密度、面密度、体密度对应的线积分是定积分（这可不是曲线积分），面积分是二重积分，体积分是三重积分。很可惜，大学物理书上全部是用一元积分符号“∫”表示的，很难看出来。值得注意的是，二重积分的面积微元dxdy，表示的是一个长和宽都是曲边的长方形面积的近似值。就是说一个看起来很像长方形的曲边图形，把四条曲边都近似看作直边，这个曲边图形的面积的近似值就是近似的长为dx，宽为dy的长方形的面积。在极坐标系中，下图中所示阴影部分就是面积微元dxdy=rdrdθ。曲边图形M1M2M3M4就近似为一个长方形。长为M1M2=M4M3=△r=dr，宽为M1M4=M2M3=r△θ=rdθ，长方形的面积就是dr×rdθ，也就是rdrdθ。dxdy=rdrdθ第二类曲线积分的被积表达式的理解第二类曲线积分的积分区间是一段曲线，这条曲线的长度是有限的，有起点，也有终点。当然积分区间是直线段也是可以的。为了方便叙述，本文中的“直线”一般是指长度有限的“线段”，“平面”一般是指面积有限的“非曲面”。向量的点乘积分，积分区间既可以是直线，也可以是曲线，这点注意。这是因为向量的点乘积分的被积表达式和第二类曲线积分是完全一样的。在定积分里面，自变量x有初值、末值和改变量。但在向量的点乘积分和第二类曲线积分里面，自变量(x,y)不仅有初值、末值和改变量，还有改变路径。也就是说，即使初末值相同，改变量相同，改变路径也有可能是不同的，最后积分的结果也会不同。这是多元微积分要注意的一点。恒力沿直线做的功，等于力的大小F与直线段的长度x的乘积：W=Fx，或者W=F·x。（提示：如果一个物体具有做功的能力，说明这个物体具有能量。一个物体做了多少功，就消耗了多少能量。功和能量的单位都是焦耳。）如果是变力沿直线做功，该怎么计算呢？“变力”是指，在直线上的每一个点，力的大小都不一样。我们把直线段的长度设为dx，把“变力”近似看作“恒力”，近似认为力的大小始终都等于起点处的大小，那么变力沿直线做功的近似值dW=Fdx，其中F是起点处的力的大小，dx是直线段的长度，这就是定积分被积表达式的意义。变力沿直线做功的准确值是 \Delta W=\int_{起点}^{终点}F(x)dx ，其中F(x)是任意一点处的力的大小。（这里采用的是数量，如果改用向量的话就不能用定积分了，无论是直线还是曲线都得用第二类曲线积分）再进一步，如果是变力沿曲线做功，又怎么办呢？可以用第二类曲线积分来计算： \Delta W=\int_{L}^{}f(x,y)dx+g(x,y)dy ，或者△W=∫F(x)·dx，积分弧段为L。这个时候被积表达式的意义是什么呢？同样，我们是把“变力”近似看作“恒力”，同时还要把“曲线”近似看作“直线”，如下图所示。这样的话被积表达式F·dx就成了起点处的力沿起点到终点的直线段所做的功，是变力沿曲线做的功的近似值。f(x,y)dx+g(x,y)dy是向量数量积F·dx的展开形式。积分结果△W=∫F(x)·dx则是变力沿曲线做的功的精确值。F(x)=(f(x,y),g(x,y))，dx=(dx,dy)，若s=|x|=|(x,y)|= \sqrt{x^2+y^2} ，则 ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}} 。我们用“起点处的力”点乘“起点到终点的直线段的向量”，这个近似值和准确值的差距太大了！怎么办？那就把原来的大积分弧段的曲线积分用加号拆分成n个小积分弧段的曲线积分，例如n=5，把弧段AF拆成AB、BC、CD、DE、EF，用“A点处的力”点乘“AB向量”，“B点处的力”点乘“BC向量”，“C点处的力”点乘“CD向量”，“D点处的力”点乘“DE向量”，“E点处的力”点乘“EF向量”，这样得到了5个数量，最后再相加，是不是误差就缩小了呢？如果n→∞，把原来的大积分弧段的曲线积分用加号拆分成无穷个小积分弧段的曲线积分，那么近似值和准确值不就相等了！第二类曲面积分也是同样的道理，最开始是把一个很大的曲面，近似看作是一个很大的三角形平面，然后开始拆分，把这个大曲面，拆分成无穷多个小三角形平面。为什么要拆成“三角形”的平面呢？这是因为，二维空间的单形是三角形，直角三角形具有勾股定理，直角三角形的斜边是直线段。而三维空间的单形是四面体，直角四面体也具有勾股定理，直角四面体的斜面是三角形平面。利用勾股定理可以正交分解向量。（插一句嘴，四维空间的单形是五胞体，直角五胞体的斜面是“四面体面”）所谓的“第一类”和“第二类”，其实就是“数量乘”和“向量点乘”的区别。还是上面这幅图，如果是第一类曲线积分的话，那么就是用“A点处的函数值”乘“线段AB的长度”，“B点处的函数值”乘“线段BC的长度”，“C点处的函数值”乘“线段CD的长度”，“D点处的函数值”乘“线段DE的长度”，“E点处的函数值”乘“线段EF的长度”，最后再相加。两个因数由向量变为了数量，“点乘”变成了“乘”，就这么简单。第二类曲面积分的被积表达式的理解下面我们来理解一下第二类曲面积分的被积表达式f(x,y,z)dydz+g(x,y,z)dzdx+h(x,y,z)dxdy。在第二类曲面积分中，人为地给一个曲面的每一点加上法向方向的箭头（也就是曲面的侧），成为有向曲面。曲面的正反侧只是决定了积分结果的符号。就好比，定积分的下限是可以大于上限的。当定积分的上下限对调，积分结果只是符号变了，绝对值没有变。若是对x和y的积分，则曲面上侧为正，下侧为负。若是对x和z的积分，则曲面右侧为正，左侧为负。若是对y和z的积分，则曲面前侧为正，后侧为负。口诀：上正下负，前正后负，右正左负。这跟空间直角坐标系的坐标轴的正负性是一致的。通常情况下，曲面的所有点都是朝向同一侧的。理论上可以很多点朝上，但其中某一个点偏偏要朝下，如果真是遇到这种情况，对于这样的特殊点或区域，那只能用加号拆开单独计算了。第二类曲面积分的被积函数是关于空间坐标(x,y,z)的三个三元的数量函数f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z)，三个函数的函数值共同组成一个空间坐标，也可以看作是关于空间向量的向量函数E(x)，其中x=(x,y,z)，函数值是一个空间向量。在电磁学中，假设有一个匀强电场，如果一个平面（这里的“平面”指的是面积有限的“非曲面”，下同）垂直于电场线，那么电通量=电场强度×面积，也就是Φ=ES。如果这个平面不是垂直于电场线的，而是有一定的夹角，且电场线和平面的法向量之间的夹角是θ，那么电通量=EScosθ。如果匀强电场的场强大小和方向用向量E表示，且向量S的大小是平面的面积，方向是平面法向量的方向，那么Φ=E·S。如果面不是平面而是曲面，电场也不是匀强电场，那就只有用第二类曲面积分来计算电通量了。把空间中任意一点的电场强度和方向用向量函数E(x)表示，自变量x是三维空间坐标，E(x)是x处的场强值。正交分解这两个向量，x=(x,y,z)，E(x)=(f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z))。把曲面面积的准确值记作△S，把整个曲面近似看成是一个三角形平面，这个三角形平面的面积当作原曲面面积的近似值，记作dS，再取一个朝上或朝下的法向方向，乘上这个方向的单位向量n，就是ndS=d(Sn)=dS，成为有向三角形平面。整个被积表达式成了E(x)·dS，表示的是某非匀强电场穿过某曲面的电通量的近似值。原曲面是每一个点都有方向，现在近似的三角形平面只有一个方向了。直角四面体：由三个互相垂直的直角三角形面，以及一个任意形状的三角形面（斜面）构成的四面体。直角四面体的勾股定理：斜面面积的平方=三个直角三角形面面积的平方和，即S_{4}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2} 。怎样正交分解有向曲面向量dS呢？我们把这个曲面近似看成是某直角四面体的斜面，分别往三个坐标平面上投影，设往yOz方向投影后的面积是dydz，往zOx方向投影后的面积是dzdx，往xOy方向投影后的面积是dxdy（为了使被积表达式最简，降低积分限的复杂度，这里直接设面积，不用考虑什么棱长的长度）。根据直角四面体的勾股定理，有dS=\sqrt{(dydz)^2+(dzdx)^2+(dxdy)^2}这保证了正交分解后空间向量的模长和原来曲面的面积相等，于是dS=(dydz, dzdx, dxdy)。这个类似于第二类曲线积分里面的 ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} 。提示：（1）在直角四面体中，相邻两个直角三角形面所成的二面角的大小为90度，也就是 \frac{\pi}{2} 弧度。度是有理单位，弧度是无理单位。（2）在直角四面体中，“面BOC、面AOC、面AOB”这三个面构成的立体角的大小是 \frac{16200}{\pi} （约为5156.62）平方度，也就是 \frac{\pi}{2} 球面度。相邻两个直角三角形面所成的立体角的大小是 \frac{32400}{\pi} （约为10313.24）平方度，也就是π球面度。平方度和球面度两个单位都是无理单位。（3）直角四面体的直角顶点不一定非要在直角坐标系的原点，它可以位于直角坐标系的任何位置。（4）在第二类曲面积分中，dx=△x、dy=△y、dz=△z。△x被定义为原曲面长度的 \frac{1}{\sqrt2} ，△y为原曲面宽度的 \frac{1}{\sqrt2} ，△z为原曲面高度的 \frac{1}{\sqrt2} 。近似的三角形平面的长、宽、高和原曲面的尺寸相等。第二类曲面积分的被积表达式虽然被记作dS（即dSn或ndS），但是这里的S不能理解为一个三元函数S(x,y,z)，更不能把dS理解为对某三元函数S(x,y,z)作全微分。因为对三元函数作全微分的话，应该是dF(x,y,z)=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz，而全微分的运算结果根本就不是第二类曲面积分的被积表达式这个样子。第二类曲面积分并不是全微分的逆运算，两者根本没有任何关系。这里的dS仅仅只是表示一个值，这个值等于近似的三角形平面的面积值。当然这还没完，我们刚才说明了dS向量的模长等于面ABC的面积（dS），还得证明正交分解出来的dS向量确实是垂直于面ABC的。怎么证明呢？首先，A、B、C三点的坐标分别是(√2dx,0,0)、(0,√2dy,0)、(0,0,√2dz)。那么向量AB=(-√2dx,√2dy,0)，向量AC=(-√2dx,0,√2dz)，因为AB·dS=-√2dx·dydz+√2dy·dzdx=0，AC·dS=-√2dx·dydz+√2dz·dxdy=0，所以AB⊥dS，AC⊥dS，因此dS⊥面ABC，dS确实是面ABC的法向量。E(x)·dS=(f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z))·(dydz, dzdx, dxdy)=f(x,y,z)dydz+g(x,y,z)dzdx+h(x,y,z)dxdy。这就是第二类曲面积分的被积表达式的由来。这个被积表达式的本质，是把电场强度E(x)正交分解成x、y、z三轴的分量值，再把有向曲面近似看成是一个有向三角形平面，其法向量是dS，把这个法向量正交分解成yOz、zOx、xOy方向的投影面积。这时两个向量都正交分解了，就能直接相乘了，不用再考虑什么θ角度了。场强x轴分量和yOz投影面积相乘，场强y轴分量和zOx投影面积相乘，场强z轴分量和xOy投影面积相乘，最后将三个乘积相加，就是电通量的值了。整个被积表达式表示电通量的近似值fdydz+gdzdx+hdxdy，加上积分符号∬后是电通量的准确值∬fdydz+gdzdx+hdxdy。为什么dydz要放在最前面呢？这是因为，电场强度E的x轴方向的值必须和曲面的yOz方向的投影面积相乘。电场线必须和平面垂直时才能直接相乘。为什么场强E和曲面dS必须都要有方向呢？只有一个有方向不行吗？当然不行！因为只有场强的方向和曲面法向量的方向唯一确定了之后，他们之间的夹角θ才能确定。如果θ=0°那么电通量是最大的，如果θ=90°那么电通量就为0。夹角θ是锐角还是钝角，跟我们取的曲面的侧有关，只影响计算结果的正负性。按定义计算第二类曲面积分，最开始是只划分一个有向三角形平面，是把整个有向曲面近似看作是一个有向三角形平面。整个有向曲面上每个点都有一个法向方向的箭头，但这个近似的有向三角形平面只有一个点有法向方向的箭头（因为是平面，这个点在哪里都没有关系）。为了缩小近似值和准确值的差距，我们开始把整个有向曲面划分成两个有向三角形平面、四个有向三角形平面、八个有向三角形平面……无数个有向三角形平面，每个有向三角形平面上其中一个点都有一个法向方向的箭头，和场强向量E(x)相点乘的也是那个点处的场强值（非匀强电场在空间中每一个点处都有不同的场强值，坐标哪怕变一点点，场强的大小和方向都不一样）。法向方向的箭头的个数就由两个变为四个、四个变为八个……最后变为无数个。最后每一个点就都有法向方向的箭头了，近似值和准确值就没有差距了。Φ≈E1·S1Φ≈E1·S1+E2·S2Φ≈E1·S1+E2·S2+E3·S3+E4·S4Φ=lim(n→∞)(E1·S1+E2·S2+E3·S3+E4·S4+……+En·Sn)En向量的大小和方向是第n个三角形平面上某一点处的场强的大小和方向。这个某一点可以随便选，考虑到x,y,z是初值，dx,dy,dz是改变量，一般是选三角形的三个顶点的其中一个。选三角形最中间的点也可以，或者其他任何一点都可以，都没影响。Sn向量的大小是第n个三角形平面的面积，方向是第n个三角形平面法向方向箭头的朝向。En·Sn是两个向量在做点乘运算，运算结果是一个数量。每个三角形平面的面积是一样的（类似于定积分划分小区间时，每个小区间的宽度是一样的），但他们的法向方向箭头的朝向是不一样的。七种积分的总结定积分∫f(x)dx数轴上的直线段积分（简称线积分）属于此类积分。积分区间：数轴上的一个闭区间（直线段）积分结果的含义：曲边梯形的面积被积表达式的含义：把曲边梯形近似看作长方形后，长方形的面积。长方形的长为下限处的函数值，宽为积分区间的长度。二重积分∬f(x,y)dxdy平面直角坐标系上的封闭的平面图形的积分（简称面积分）属于此类积分。积分区间：任意封闭的平面图形积分结果的含义：曲顶柱体的体积被积表达式的含义：把曲顶柱体近似看作长方体后，长方体的体积。长方体的长和宽为积分区间的最大长和宽，高为(x,y)为初值时的函数值。（初值，一般来说就是此平面图形的某个顶点）三重积分∭f(x,y,z)dxdydz空间直角坐标系上的封闭的立体图形的积分（简称体积分）属于此类积分。积分区间：任意封闭的立体图形积分结果的含义：四维空间中曲顶超柱体的超体积被积表达式的含义：把曲顶超柱体近似看作超长方体后，超长方体的超体积。超长方体的长、宽、高为积分区间的最大长、宽、高，超高为(x,y,z)为初值时的函数值。第一类曲线积分∫f(x,y)ds 或 ∫f(x,y,z)ds积分区间：直线段或曲线段积分结果的含义（举例）：物体沿曲线分布的质量被积表达式的含义：把物体的形状近似看作直线，近似认为物体的密度处处相等且等于(x,y)或(x,y,z)初值处的密度后，物体的质量。第二类曲线积分向量形式：∫F(x)·dx展开形式：∫f(x,y)dx+g(x,y)dy 或 ∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz积分区间：直线段或曲线段积分结果的含义（举例）：变力沿曲线做的功被积表达式的含义：把变力近似看作恒力，且力的大小和方向等于(x,y)或(x,y,z)初值处的力，再把曲线近似看作直线后，力做的功。第一类曲面积分∬f(x,y,z)dS积分区间：一段平面或曲面积分结果的含义（举例）：物体沿曲面分布的质量被积表达式的含义：把物体的形状近似看作三角形平面（面积为dS），近似认为物体的密度处处相等且等于(x,y,z)初值处的密度后，物体的质量。第二类曲面积分向量形式：∬E(x)·dS展开形式：∬f(x,y,z)dydz+g(x,y,z)dzdx+h(x,y,z)dxdy积分区间：一段平面或曲面积分结果的含义（举例）：非匀强电场的电场线穿过曲面一侧的电通量（或非匀强磁场的磁感线穿过曲面一侧的磁通量）被积表达式的含义：把非匀强电场近似看作匀强电场，且场强的大小和方向近似等于(x,y,z)初值处的场强值，再把曲面近似看作三角形平面后，电场线穿过三角形平面的电通量。E向量为场强的大小和方向，dS向量的大小为三角形平面的面积，方向为三角形平面的法向方向。二阶导数的分式形式到底能不能拆二阶导数可以写成y''，也可以写成分式形式 \frac{d^2y}{dx^2} 。那么二阶导数的分式形式到底能不能像一阶导数那样上下拆开呢？笔者认为，这取决于是否定义二阶微分。现目前的高数课本上是没有定义二阶微分的，y''=\frac{d^2y}{dx^2}，这个分式是一个整体记号，是不可拆分的，并且\frac{d^2y}{dx^2}是 \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}的简写形式。高数课本（官科）认为，一阶才有导数和微分，二阶以上就只有导数，没有微分了。但是微分仍然还是微积分的主角，因为二阶导数 \frac{d^2y}{dx^2} 最终也是用一阶微分符号 d(dy\div dx)\div dx 定义出来的。微分没有阶数，只有导数才有阶数。只有新开一个数学分支（民科），自己再定义一个“二阶微分”的概念，并规定自变量的二阶微分d²x=0，二阶导数的分式形式才是上下可拆的：d²y=d(dy)=d(y'dx)=d(y')dx=y''(dx)²y''=d²y÷(dx)²再定义如下四个概念：（以下均为民科）ddy=d²y：y的改变量的近似值的改变量的近似值d△y：y的改变量的准确值的改变量的近似值△dy：y的改变量的近似值的改变量的准确值△△y：y的改变量的准确值的改变量的准确值在实际问题中，把某个量设为(dx)²，就是设了一个未知函数y(x)，使自变量的改变量的平方等于这个量。最后要求的量是△△y，是因变量的改变量的准确值的改变量的准确值。我们还可以在此基础上定义二重不定积分（不考虑常数C）：∬y''(dx)²=y考虑常数C的话，就要同时引入两个不同的常数： ∬y''(dx)^2=y+C_{1}x+C_{2} 二阶微分式的不定积分结果为一阶微分式： \int y''(dx)^2=y'dx+C 但是很遗憾，二阶微分不具有形式不变性。自变量的二阶微分d²x=0，函数u(x)的二阶微分d²u就不一定等于0了。如果y是一个复合函数，且y=y[u(x)]，那么 dy=\frac{dy}{du}\cdot du=y'_{u}du \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=y'_{u}u'_{x} d^2y=d(dy)=d(y'_{u}du)=d(y'_{u})du+y'_{u}d^2u=y''_{u}(du)^2+y'_{u}d^2u 再作进一步变换： y''_{u}(du)^2=d^2y-y'_{u}d^2u y''_{u}(du)^2=d^2y-\frac{dy}{du}\cdot d^2u y''_{u}=\frac{d^2y}{(du)^2}-\frac{dy}{du}\cdot \frac{d^2u}{(du)^2} 由此可见，复合函数的二阶导数用二阶微分表示的话会非常复杂！同样，高数课本没有定义“偏微分”的概念，所以偏导数的分式形式 \frac{\partial z}{\partial x} 也是不可拆分的。二元函数z(x,y)的全微分为 dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy。我们可以自己定义一个“偏微分”的概念： \partial_{x} z=\frac{\partial z}{\partial x}dx，并规定 \partial x=dx ，这样的话 dz=\partial_{x} z+\partial_{y} z，这个时候偏导数就可以拆成 \frac{\partial z}{\partial x}=\partial_{x} z\div\partial x 了。为了书写方便，规定分式形式分子的偏微分下标（这里是x）可以省略，但分式拆分后就不能省略了。编辑于 2023-12-15 00:33・IP 属地四川微积分赞同 24763 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录高数学习简单概念的深刻理

什么是dx——无穷小量的原理 - 知乎

什么是dx——无穷小量的原理 - 知乎首发于数学/闲笔/备忘录切换模式写文章登录/注册什么是dx——无穷小量的原理间宫羽咲sama月が綺麗で、泣きそうになるのは。いつの日にか、別れが来るから高等数学是多数大学生进入大学的第一门课程，但有趣的是：很多大学生在学完高等数学后，并没有理解到什么是dx。往往对dx的印象停留在「一个无穷小的量」、「要多小有多小」、「比任意ε都小」等这样的初步直观印象。当然，这些说法的确都是正确的，但这无法解决无穷小量间的关系问题。例如：如果问为什么dy=f'(x)dx？如果把dx和dy理解为两个独立而不相关的无穷小量，这一现象都变得无法理解。而如果无法理解到dx与dy的关系，对于后期多元函数的各种诡异而变化莫测的换元方法就更加难以理解了。光凭借死记硬背，或许应付高数的考试是足够的，但是在笔者看来，这不能算作学会了高数。从这个意义上，或许物理学系的对无穷小量dx理解得最透彻，因为他们做题时要一直对dx进行各种换元与分析。在本文中，笔者会以讨论的形式，不断提出问题，以与读者讨论的方式来研究分析这些问题，最终探讨出一个答案。关于这些结论中的部分，笔者是有严谨的证明。但是本文的目的是培养对无穷小量dx的直观认识，故笔者将略去这些证明。对于少数笔者认为有必要让读者了解的关键步骤，笔者会单独提出来讲思路，但尽可能地不涉及具体的证明细节。总之，本文的目的是培养读者对无穷小量的直觉。希望读者在阅读本文时，不要将本文当作教科书生硬地“学习”，而是要想象笔者站在你的面前，在与读者“探讨”问题。全文第一部分我将采用对话体，笔者自称「我」，对话对象称为「小羽咲」（这是设定，不要吐槽啦）。请读者自行代入「小羽咲视角」。当然，由于本文是面向各个知识段的读者的，在全文开始之前，我将在下面罗列一些有必要掌握的定理，当读者遇到没有学过的内容时，可以参考以下说明进行补充阅读。以下是公式定理说明表（已经了解这些定理的读者，可以直接跳到下一环节）本文最理想的读者是学习完高等数学的《多元函数的重积分》及其之前的所有内容的读者，对于没有修习这些内容的读者，下面将列举你们所必要了解的一些内容/定理[1]：（已经了解这些定理的读者，可以直接跳到下一环节）一、对于没有修习《高等数学（下）》的读者，你们需要了解的有：1、全微分公式即： dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy （笔者注1：事实上，本质上，隐函数求导公式可由该公式导出。在本文中，由于该公式具有非常好的对称美性质，我们将十分频繁地应用该公式）（笔者注2：该公式具有很好的对称美性质，我们可以将该公式推广到n维情形，对于n维情形的该公式，我们也称之为「全微分公式」）2、全微分形式不变性即：在全微分公式 dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv 的基础上——如果u，v是中间变量，即有 u=\varphi(x,y) ， v=\psi(x,y) 的换元关系，则有：dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy （笔者注1：通俗地说，就是：不管把什么当成自变量，dz都可以表示为这一组自变量(下以x为例)对应的 \frac{\partial z}{\partial x}dx 的求和）（笔者注2：换言之：「全微分形式不变性」保证了——dz可以被写成对应的全微分，这一点与你选择的变量是自变量或中间变量无关）（笔者注3：高阶微分不再具有微分形式不变性，这一点与「一元高阶微分不具有形式不变性」类似）3、隐函数求导法则（偏导）即： \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} （其中 F_x 代表F对x的偏导）这一推导可以类比二元隐函数方程求导记忆——我们通过对 F(x,y)=0 左右全微分可以知道： F_xdx+F_ydy=0 即： \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} 同理，多元（未知数大于等于2）函数，不过是把d换成了∂罢了。即： \frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_y}\quad 其中F(x,y,z)=0 二、对于没有修习《高等数学（上）》的读者，你们需要了解的有：1、复合函数的链式求导法则即： \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} （笔者注：这也暗示了微分的一大特性：微分可以被当成实体参与运算）2、各种求导法则例如乘积求导法则、除法求导法则等3、求偏导所谓求偏导，即把其他变量当成常数，只对指定变量求导，符号用 \frac{\partial ?}{\partial ?} 表示。如 \frac{\partial z}{\partial x} 表示z对x求偏导。举例[2]A： \frac{\partial (xy)}{\partial x}=y ，即把y当成常数，y x相当于斜率为y的一次函数。B： \frac{\partial (xyzuvw)}{\partial x}=yzuvw ，不管你什么花里胡哨的，后面的统统当成常数处理，只对x求导。C、 \frac{\partial e^{xy}}{\partial x}=ye^{xy} ，即把y看成常数，我们知道 e^{kx} 求导是 ke^{kx} ，同理把k换成y即可4、隐函数求导法则我们知道任意函数 y=f(x) 总能被看作方程 F(x,y)=y-f(x)=0 更广义地，当y=f(x)不容易被显式地写出时，就可以将其写成一个方程 F(x,y)=0 的形式，我们称之为隐函数方程。（例如想要绕开反三角函数，就可以把 y=\arctan x 写成 \tan y=x ，这就确定了一个方程 F(x,y)=\tan y-x=0 ）这样确定了一个隐函数，如果把 F(x,y)=0 人为添加一个维度z，即看作 z=F(x,y) 且z=0，那么对左右全微分，左面z=0微分显然为0，右面微分按照「全微分公式」（见「公式定理说明表」一、1）即为 \frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0 ，导数自然是 \frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} 。（笔者注：看起来这里写的隐函数求导法则与《高等数学（上）》不同，但实质上是相同的。至于为什么，这就留待读者自行思考了）以下是正文部分全文采取对话体，请脑补「笔者」为「我」，脑补「读者」为「小羽咲」或「羽咲」第一部分：从全微分不变性说起我：小羽咲，你知道 \frac{\partial (x+y)}{\partial x} 等于多少吗？（注： \partial 是偏微分算符，意思是分子对分母求偏导，所谓求偏导即把其他变量看成常量，对分母求导，具体说明见「公式定理说明表」二、3）羽咲：这个还不简单吗？把y当成常数，这个就是最简单的求导，显然为1啊！我：（露出阴险的笑容）羽咲：（有一种阴谋的气息）我：谁说的y相对x是常数了呢，你被我坑啦！羽咲：？？？（黑人问号）我：其实我认为 y=x+u ，其中u与x无关，这样 \frac{\partial (x+y)}{\partial x}=\frac{\partial (2x+u)}{\partial x}=2 。哈哈哈，略略略……（发出欠打的笑声）羽咲：怎么可以这样，x、y不是垂直的吗？垂直的话两者肯定无关啊！我：想不到吧，哈哈哈哈哈（欠打ing）配图配错了，懒得改了，意思就是x轴与y轴不一定垂直，在这里面我画成了x+y=z嘤嘤嘤羽咲：お兄ちゃん、バカ！！！！（并将我拉入黑名单）我：等等！羽咲别走！我再也不抬杠了！本当に申し訳ありません、お優し羽咲様（小仓朝日附体）………………（一天后）羽咲：哼（一脸不爽）！这个问题你得好好给我讲清楚，不然就……（比手刀姿势）我：嗯嗯，我保证再也不抬杠了（本当に申し訳ありません、お優し羽咲様×2）我：回到正题，我们都知道全微分公式 dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy ，那么自然地，如果 z=x+y ，就有 dz=d(x+y)=dx+dy 。这样我们就能自然得出此时： \frac{\partial z}{\partial x}=1 了。（注：全微分公式见「公式定理说明表」一、1）羽咲：你昨天不还说 \frac{\partial (x+y)}{\partial x}=2 吗？怎么现在又变成1了？我：对，这就是问题的根源——事实上， \frac{\partial (x+y)}{\partial x} 是指代对象不明的。回忆求偏导的意义：把其他变量当成常数，对分母求导。那么问题来了——什么叫「其他变量」呢？羽咲：这不显然x是变量，y是其他变量吗？你上面求全微分不也这么写的吗？我：对，在上面我举的例子里，的确是指代对象明确的——因为我写了 \mathrm{d}x 和 \mathrm{d}y ，自然是默认x与y是两个无关的变量。但是如果没有指明的话，类比上面我举的例子，我可以令y=x+u，其中u是与x无关的变量。那么同理，为什么一定是x与y无关呢？羽咲：那应该怎么办才好呢？我：回忆《线性代数》里面的知识，我们可以把向量组 \vec x=\{1,0,0\} 、 \vec y=\{0,1,0\} 、 \vec z=\{0,0,1\} 当做空间的一组「基」，那么我们也可以把向量组 \vec u=\{1,2,3\} 、 \vec v=\{4,5,6\} 、 \vec w=\{3,2,1\} 当做空间的一组「基」。这样的选择有无限多种，还记得需要且仅需要满足一个什么条件吗？羽咲：是线性无关对吧。或者说一组基中任意一个向量都不能由另一个向量线性表出。我记得这好像是一个被叫做「秩(rank)」的东西，只要变换矩阵的「行列式(det)」不为0，那么就线性无关。反之则线性相关。我：对的，事实上，这个变换矩阵被称为「雅可比矩阵(Jacobian)」，不过考虑到篇幅，我对此按下不表。羽咲：那既然你之前和我抬杠，那我现在也要杠一波。假如我设定基底为 \mathrm{d}(\frac yx) 和 \mathrm{d}(x) ，那么 \mathrm{d}(x+y) 全微分等于多少呢？我： \mathrm{d}(x+y)=\mathrm{d}[x(1+\frac yx)] 把x看成变量，则 \frac{\partial [x(1+\frac yx)]}{\partial x}=1+\frac yx 把y/x看成变量，则 \frac{\partial [x(1+\frac yx)]}{\partial \frac yx}=x 即 \mathrm{d}(x+y)=(1+\frac yx)\mathrm{d}x+x\mathrm{d}\frac yx 羽咲：那么我们再把dx和dy看成一组新基底，又可以得到 \mathrm{d}\frac yx=\frac {-y}{x^2}\mathrm{d}x+\frac 1x\mathrm{d}y ，代入回去就是 \mathrm{d}(x+y)=(1+\frac yx)\mathrm{d}x+x(\frac {-y}{x^2}\mathrm{d}x+\frac 1x\mathrm{d}y)=\mathrm{d}x+\mathrm{d}y 。这也恰好印证了全微分不变性。我：是的。所谓全微分不变性，不过是从不同的基底分解dz，无论是哪一种分解，本质上都是相同的。羽咲：但如果我把 d(\frac{x+y}2) 看成分解的基，即 d(x+y)=2\, d(\frac{x+y}2) ，那这不就只用了一个基向量就完成分解了吗？或者我把它看作 dx\, dy\, du\, dv\cdots 这些基的组合，其中u，v等等都与x、y都无关，那么我就可以分解为 d(x+y)=1\,dx+1\,dy+0\,du+0\,dv+\cdots 。我：你咋比我还能杠啊（看到羽咲紧攥着的拳头）……哦不不，没什么。这个问题说起来比较复杂，你看前面du、dv前面系数不都是0嘛，简而言之就是有多少个变量就最多有多少个非0的基向量，当然，比它少自然也是可以的，不过往往来说，我们习惯分解为dx、dy、dz这种简单的向量，这也是我们看到 \frac{\partial (x+y)}{\partial x} 第一反应是1的原因，这也不能说是错的，只不过这种表述的确不规范。平时习惯上，我们还是认为它是1的。第二部分：无穷小元素的关系经过前面的小剧场，相信大家对「全微分」有了一些基本的认识。值得注意的是，以上这些操作本质上是不严谨的，事实上，保证这些操作合法性的正是全微分形式不变性这一点。切记不能用它作为全微分形式的证明，否则将陷入循环论证的误区。当然，本篇的基调是直觉，以直觉为主线，我们只需要知道保证上述操作合法性的是全微分形式不变性就可以了。正是因为全微分的形式不变性，我们可以把「微分」看作一个「实体」。什么叫「实体」呢？在我的定义里，「实体就是可以进行『加、减、乘、除』」。当然，1/dx是不被允许的，减的时候也要注意dx-dx可能会残余「高阶无穷小」，乘的时候dx dy往往表示面积[3]，除的时候要注意 \frac{d^2y}{dx^2}\neq\frac{d^2y}{dt^2}(\frac{dt}{dx})^2 ，因为高阶微分不具有形式不变性，之所以一阶微分可以保证除法，是因为「一阶微分具有形式不变性」。虽然在前面说到本篇的基调是直觉，但是也不能随便乱用。这里只是列举了一些常见的误区，其他误区需要读者逐渐积累发现。在下面部分的内容中，我们的吉祥物羽咲酱就此退场了。由于下面的环节是比较枯燥的，所以我会尽可能地压缩篇幅。往往来说，微分都具有具体的物理含义。我们可以认为「微分」是「一个实际物体的代表元素」，例如 dm=\rho dV=\rho dxdydz ，其中dm就是物体质量的代表元素，如果我们想要求整个物体的质量，那么就是只需要将其积分即可。 m=\int_Vdm=\int_V\rho dV 。同理，恰好今天物理课在讲电磁学，拿电磁学举个例子。例题：假设与一个长为l，带电量为+q的均匀带电细棒的中垂线距离为R处有一个点M，求该点的场强大小。（见下图）首先，由对称性，显然沿杆方向分量为0，只考虑中垂线方向。用微元法分析，首先在细棒l上取出一个 dx 长度的代表元素，其带电量 dq 为 \frac{q\,dx}{l} ，假设距离中垂线为x，那么电场强度的分量 dE_x=\frac{k\,\frac{q\,dx}l}{(R^2+x^2)}\frac{R}{(R^2+x^2)^{\frac12}} 。积分即为： E_x=\int dE_x=\int_{-\frac l2}^{\frac l2}\frac{kRq\,dx}{l(R^2+x^2)^{\frac32}} 我们注意到：我们把dx、dq、dEx都是有物理含义的实体，它们都相当于一个实际物体的代表元素。那么，我们就对这些代表元素的关系进行分析下面，由于对话体写起来太费时间，我将以断言式的方式先给出各种微小元素的定义。读者将发现：这些定义中很多是显然的，但我们可以由这些显然的定义推导出整本高数的所有微元换元公式。当然，这里的推导会频繁的应用到「隐函数求导公式（偏导）」，希望读者要将这一公式当成一个显然的、可以秒答的公式。（注：隐函数求导公式（偏导）见「公式定理说明表」一、3）1、弧长元素结论：在一元函数里，长度元素为 dl=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} 2、面/体积元素结论：在二元函数里，面积元素为 dxdy 结论：在三元函数里，体积元素为 dxdydz3、投影面积元素dS_{prj}=\frac{dxdydz}{\partial F}\frac{\partial F}{\partial u} 其中投影平面垂直与什么，∂u就等于什么。并且规定∂F可以与dx、dy、dz中任意一者结合，以dx为例，即为∂F/∂x4、单位曲面法向量\vec n=\frac{\{F_x,F_y,F_z\}}{\sqrt{(F_x)^2+(F_y)^2+(F_z)^2}} 注：分母那一坨只是为了单位化5、单位曲面元素dS=\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}\frac{dxdydz}{\partial F} 规定∂F可以与dx、dy、dz中任意一者结合，以dx为例，即为∂F/∂x下面是对上面公式的具体说明上面的公式是高度抽象的，如果不加以说明，大家根本不知道如何应用它们。下面，我将阐述这些公式的含义，以及其应用方式。在此之前，先定义几个符号：1、定义：将偏导数 \frac{\partial F}{\partial x} 简记为 F_x 或 F'(x) 2、定义：将雅可比行列式 \begin{equation} \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} & \cdots\ &\frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2} & \cdots\ &\frac{\partial F_2}{\partial x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \frac{\partial F_n}{\partial x_2} & \cdots\ &\frac{\partial F_n}{\partial x_n}\\ \end{vmatrix} \end{equation} 简记为 \frac{\partial (F_1,F_2,\cdots,F_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots,x_n)} 3、雅可比行列式可取倒数[4]：定理： \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\frac1{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}} 1、弧长元素结论：在一元函数里，长度元素为 dl=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} 这一结论当然是显然的，我们要研究的是如何将 dl 变化为 dx 、 dt 、 d\theta 这些其他微小元素。变换方法：A、变换为dtdl=\frac{\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{dt}dt=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt 原理：方法为同时乘以dt与除以dt，分母上的dt与根号里的dx、dy结合，就变成了dx/dt、dy/dt了。B、变换为dxdl=\frac{\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{dx}dx=\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx 原理：思路上与变换为dt一样，就是把t换为了x。C、变换为dθdl=\frac{\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{d\theta}d\theta=\sqrt{[\rho(\theta)]^2+[\rho'(\theta)]^2}d\theta 原理：此处利用了等式 dx=d(\rho\cos\theta)=\cos\theta d\rho-\rho\sin\theta d\theta ，dy对应的等式同理。然后与前面类似的思路，同时乘以除以dθ即可。2、面/体积元素结论：在二元函数里，面积元素为 dxdy=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv=\frac1{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}dudv 结论：在三元函数里，体积元素为 dxdydz=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}dudvdw=\frac1{\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}}dudvdw这一结论阐述的是多元函数的换元方法，正如一元函数有 \frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} 一样，如果我们把 \frac{dy}{dx} 看作与雅可比行列式一样的伸缩因子。多元雅可比行列式也有类似的性质，即： \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\frac1{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}} 。来具体举几个例子——A、 dxdy=\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho,\theta)}d\rho d\theta=\rho d\rho d\theta B、 dxdydz=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)}dr d\theta d\varphi=r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi 3、投影面积元素dS_{prj}=\frac{dxdydz}{\partial F}\frac{\partial F}{\partial u} 其中投影平面垂直与什么，∂u就等于什么。并且规定∂F与dx、dy、dz中任意一者结合，以dx为例，即为∂F/∂x例如投影平面为xOy，则∂u=∂z。如欲以dxdy来表示之，则令∂F与dz结合，即： dS_{xOy}=\frac{dxdy}{\frac{\partial F}{\partial z}}\frac{\partial F}{\partial z}=dxdy 。如欲求得dydz来表示之，则令∂F与dx结合，即： dS_{xOy}=\frac{dydz}{\frac{\partial F}{\partial x}}\frac{\partial F}{\partial z}再考虑到隐函数求导公式： \frac{\partial x}{\partial z}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial z}}{\frac{\partial F}{\partial x}} 则： dS_{xOy}=-\frac{\partial x}{\partial z}dydz 4、单位曲面法向量\vec n=\frac{\{F_x,F_y,F_z\}}{\sqrt{(F_x)^2+(F_y)^2+(F_z)^2}} 这一点是直观的。首先说明：分母乘的那一坨是分子向量的模长，相当于单位化。至于这为什么是法向量，一个直观的理解就是：考虑到全微分，有： F_xdx+F_ydy+F_zdz=0 ，故有： \{F_x,F_y,F_z\}\cdot\{dx,dy,dz\}=0 。而后者的几何意义为曲面的任一微小向量，而前者与任意微小向量都垂直，自然是法向量了。5、单位曲面元素dS=\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}\frac{dxdydz}{\partial F} 这里结合3的投影面积元素就显得好理解了。投影面积元素 dS=\frac{\partial F}{\partial u}\frac{dxdydz}{\partial F} ，其中u是被投影平面法向量。单位曲面元素可以看做三个投影面积元素的平方和，也就是本公式。当然，这个式子只是隐式地指出了单位面积元素，想要得到我们平时常用的公式，就需要把∂F与d结合。例如用dx dy表示（即消去dz），就可以把∂F与dz结合，即为：dS=\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}\frac{dxdy}{\frac{\partial F}{\partial z}} 放到根号里去则是： dS=\sqrt{\frac{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}{(\frac{\partial F}{\partial z})^2}}dxdy 利用隐函数求导公式化简即为： dS=\sqrt{(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2+1}\,dxdy 第三部分：无穷小元素的在空间解析几何的代表性质先从一个问题看起——原来有同学问我：为什么形如 Ax+By+Cz+D=0 表示一个平面呢？我给他的回答是：考虑上面任意一点 M(x_0,y_0,z_0) 这个方程又可以写成： A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 又可以看成向量 \vec a=\{A,B,C\} 与 \vec b=\{x-x_0,y-y_0,z-z_0\} 的点乘，即： \vec a\cdot\vec b=0 这表明：该方程上任意一点与点M构成的向量b都与向量a垂直。这样的点的集合就是一个平面。上面如果以「把dx看成实体」的角度看这个问题，这就变得更清晰了。考虑方程： F(x,y,z)=Ax+By+Cz+D=0 进行全微分： Adx+Bdy+Cdz=0 写成向量点乘： \{A,B,C\}\cdot\{dx,dy,dz\}=0 这表明：该方程任意一点上的微小变化向量都与常向量 \{A,B,C\} 垂直。这样我们不仅可以得到「这是一个平面」的信息，还可以知道任意一点的法向量。这也引出了我们「求任意光滑空间曲面的法向量」的方法——1、「求任意光滑空间曲面的法向量」的方法首先，我们知道：通常来说[5] ：F(x,y,z)=0 表示一个空间曲面。\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases} 表示一个空间曲线。那么下面我将阐述——如何利用dx的实体性求解空间曲面的法向量/空间曲线的切向量。先举一个简单的例子：A、求球面 x^2+y^2+z^2=1 上任意一点的法向量。解：将其全微分： 2xdx+2ydy+2zdz=0 可以得到： \{2x,2y,2z\}\cdot\{dx,dy,dz\}=0 我们知道，与任意微小增量都垂直的必然是法向量。故 \{2x,2y,2z\} 为其法向量。当然，从特殊到一般，我们可以推广得到下面命题——B、 F(x,y,z)=0 上任意一点法向量为 \{F_x,F_y,F_z\} 证明：将其全微分： F_xdx+F_ydy+F_zdz=0 可以得到： \{F_x,F_y,F_z\}\cdot\{dx,dy,dz\}=0 我们知道，与任意微小增量都垂直的必然是法向量。故 \{F_x,F_y,F_z\} 为其法向量。C、应用B解A球面方程可以写成： F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0 剩下同2操作即可。2、求解任意空间曲线的切向量通过几何直观，我们容易发现 \{dx,dy,dz\} 是该点的切向量。考虑方程： \begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases} 全微分可得： \begin{cases} F_xdx+F_ydy+F_zdz=0\\ G_xdx+G_ydy+G_zdz=0 \end{cases} 如果我们只把dx、dy看成变量，其他看成常数，这就是一个二元一次方程组。以求解dx为例子，这里可以通过《线性代数》的「克莱姆法则(Cramer's Rule)」直接写出答案： dx=-\frac{ \begin{vmatrix} F_z&F_y\\ G_z&G_y \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} F_x&F_y\\ G_x&G_y \end{vmatrix} }dz 。化简即为： \frac{dx}{ \begin{vmatrix} F_y&F_z\\ G_y&G_z \end{vmatrix} }= \frac{ dz }{ \begin{vmatrix} F_x&F_y\\ G_x&G_y \end{vmatrix} } 同理可以求得dy与dz的关系，可以发现： \frac{dx}{ \begin{vmatrix} F_y&F_z\\ G_y&G_z \end{vmatrix} }= \frac{ dy }{ \begin{vmatrix} F_z&F_x\\ G_z&G_x \end{vmatrix} } = \frac{ dz }{ \begin{vmatrix} F_x&F_y\\ G_x&G_y \end{vmatrix} } 即 \{dx,dy,dz\} 与 \{ \begin{vmatrix} F_y&F_z\\ G_y&G_z \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} F_z&F_x\\ G_z&G_x \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} F_x&F_y\\ G_x&G_y \end{vmatrix} \} 同向。那么自然方向向量就是： \{ \begin{vmatrix} F_y&F_z\\ G_y&G_z \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} F_z&F_x\\ G_z&G_x \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} F_x&F_y\\ G_x&G_y \end{vmatrix} \} 了其余空间几何的分析方法，本质上都是与上面两者等价的。读者应该理解到 \{dx,dy,dz\} 作为任意微小增量向量的含义，通过其几何含义，得到各种空间几何的式子。例如——通过变形得到： \frac{\{dx,dy,dz\}}{dx}=\{1,\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}\}=\{1,y'(x),z'(x)\} 。其它的读者可以自行摸索，通过几何对称的公式推导自己具体题目需要的公式是一件有趣的事情。参考^这里略去了一些常见的条件，例如假设函数可微/可导/连续等，这是为了让读者直观理解定理^此处举例写法事实上是不严谨的，具体原因会在正文提到^（以下内容是根据大佬舍友提示）当然，dx与dy有时候不是简单的数量（标量）相乘关系，在有方向问题的情况时，dx与dy应当理解两个向量，它们两个的乘积相当于叉积（而不是标量乘积），得到的是一个叫做「二重向量」的东西。例如在这个框架下，dx dy=-dy dx。当然，为了处理方便，我在下面引入了一些技术，将其“封装”为了标量处理。至于这一技术的合理性的论证，考虑到篇幅，不予论证。^事实上，这显然是需要证明的，否则我们完全有理由相信这一定理不成立。读者可将其作为习题尝试证明之。^如果不是刻意构造一些诡异的东西，比如x^2+y^2+z^2+1=0这种实数域无解的东西的话，下面的断言总是成立的编辑于 2019-10-14 21:57数学高等数学微积分赞同 133675 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录数学/闲笔/备忘录本专栏是备忘录性质的，记录我学习的一些心得体会数学本天成，妙手偶得之。汇总我的灵感一刻本专栏只用于摘录我的灵感一刻，虽然经常重复造

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ctX_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心DirectX播报讨论上传视频应用程序接口收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。DirectX（Direct eXtension，简称DX）是由微软公司创建的多媒体编程接口，是一种应用程序接口（API）。DirectX可以让以windows为平台的游戏或多媒体程序获得更高的执行效率，加强3D图形和声音效果，并提供设计人员一个共同的硬件驱动标准，让游戏开发者不必为每一品牌的硬件来写不同的驱动程序，也降低用户安装及设置硬件的复杂度。DirectX已被广泛使用于Microsoft Windows、Microsoft XBOX、Microsoft XBOX 360和Microsoft XBOX ONE电子游戏开发。 [1-2]中文名DirectX外文名Direct eXtension简称DX发行公司微软公司性质多媒体编程接口应用Microsoft Windows最新版本DirectX 12目录1功能介绍2组成▪显示部分▪声音部分▪输入部分▪网络部分3分类4掌握5发展历史6打开方法功能介绍播报编辑微软DircetX诊断工具的测试画面Microsoft DirectX 是这样一组技术：它们旨在使基于Windows 的计算机成为运行和显示具有丰富多媒体元素（例如全色图形、视频、3D 动画和丰富音频）的应用程序的理想平台。DirectX 包括安全和性能更新程序，以及许多涵盖所有技术的新功能。应用程序可以通过使用DirectX API 来访问这些新功能。功用从字面意义上说，Direct就是直接的意思，而后边的X则代表了很多的意思，从这一点上可以看出DirectX的出现就是为了为众多软件提供直接服务的。举例来说，以前在DOS下骨灰级玩家玩游戏时，并不是安装上就可以玩了，他们往往首先要设置声卡的品牌和型号，然后还要设置IRQ（中断）、I/O（输入与输出）、DMA（存取模式），如果哪项设置的不对，那么游戏声音就发不出来。这部分的设置不仅让玩家伤透脑筋，对游戏开发者来说就更为头痛。为了让游戏能够在众多电脑中正确运行，开发者必须在游戏制作之初，把市面上所有声卡硬件数据都收集过来，然后根据不同的 API（应用编程接口）来写不同的驱动程序。这对于游戏制作公司来说，是很难完成的，所以在当时多媒体游戏很少。微软正是看到了这个问题，为众厂家推出了一个共同的应用程序接口——DirectX。只要游戏是依照DirectX来开发的，不管显卡、声卡型号如何，统统都能玩，而且还能发挥最佳的效果。当然，前提是使用的显卡、声卡的驱动程序必须支持DirectX才行。 [3]组成播报编辑DirectX是由很多API组成的，按照性质分类，可以分为四大部分，显示部分、声音部分、输入部分和网络部分。显示部分显示部分担任图形处理的关键，分为DirectDraw（DDraw）和Direct3D（D3D），前者主要负责2D图像加速。它包括很多方面：我们播放mpg、DVD电影、看图、玩小游戏等等都是用的DDraw，你可以把它理解成所有划线的部分都是用的DDraw。后者则主要负责3D效果的显示，比如CS中的场景和人物、FIFA中的人物等等，都是使用了DirectX的Direct3D。声音部分声音部分中最主要的API是DirectSound，除了播放声音和处理混音之外，还加强了3d音效，并提供了录音功能。我们前面所举的声卡兼容的例子，就是利用了DirectSound来解决的。输入部分输入部分DirectInput可以支持很多的游戏输入设备，它能够让这些设备充分发挥最佳状态和全部功能。除了键盘和鼠标之外还可以连接手柄、摇杆、模拟器等。网络部分DirectX(4张)网络部分DirectPlay主要就是为了具有网络功能游戏而开发的，提供了多种连接方式，TCP/IP，IPX，Modem，串口等等，让玩家可以用各种连网方式来进行对战，此外也提供网络对话功能及保密措施。 [3]分类播报编辑DirectX并不是一个单纯的图形API，它是由微软公司开发的用途广泛的API，它包含有Direct Graphics(Direct 3D+Direct Draw)、Direct Input、Direct Play、Direct Sound、Direct Show、Direct Setup、Direct Media Objects等多个组件，它提供了一整套的多媒体接口方案。只是其在3D图形方面的优秀表现，让它的其它方面显得暗淡无光。DirectX开发之初是为了弥补Windows 3.1系统对图形、声音处理能力的不足，而今已发展成为对整个多媒体系统的各个方面都有决定性影响的接口。DirectX 是一组低级“应用程序编程接口(API)”，可为 Windows 程序提供高性能的硬件加速多媒体支持。Windows 支持DirectX 8.0，它能增强计算机的多媒体功能。使用DirectX 可访问显卡与声卡的功能，从而使程序可提供逼真的三维(3D) 图形与令人如醉如痴的音乐与声音效果。DirectX 使程序能够轻松确定计算机的硬件性能，然后设置与之匹配的程序参数。该程序使得多媒体软件程序能够在基于Windows 的具有DirectX 兼容硬件与驱动程序的计算机上运行，同时可确保多媒体程序能够充分利用高性能硬件。DirectX 包含一组API，通过它能访问高性能硬件的高级功能，如三维图形加速芯片和声卡。这些 API 控制低级功能（其中包括二维(2D)图形加速）、支持输入设备（如游戏杆、键盘和鼠标）并控制着混音及声音输出。构成DirectX 的下列组件支持低级功能：Microsoft DirectDraw Microsoft DirectDraw API 支持快速访问计算机视频适配器的加速硬件功能。它支持在所有视频适配器上显示图形的标准方法，并且使用加速驱动程序时可以更快更直接地访问。DirectDraw 为程序（如游戏和二维图形程序包）以及Windows系统组件（如数字视频编解码器）提供了一种独立于设备之外的方法来访问特定显示设备的功能，而不要求用户提供设备功能的其它信息。Microsoft Direct3D API (Direct3D) :为大多数新视频适配器内置的3-D 调色功能提供界面。Direct3D 是一种低级的3-D API，它为软件程序提供一种独立于设备之外的方法以便与加速器硬件进行有效而强大的通信。Direct3D 包含专用CPU指令集支持，从而可为新型计算机提供进一步加速支持。Microsoft DirectSound API :为程序和音频适配器的混音、声音播放和声音捕获功能之间提供了链接。DirectSound 为多媒体软件程序提供低延迟混合、硬件加速以及直接访问声音设备等功能。维护与现有设备驱动程序的兼容性时提供该功能。Microsoft DirectMusic API :是DirectX 的交互式音频组件。与捕获和播放数字声音样本的DirectSound API 不同，DirectMusic 处理数字音频以及基于消息的音乐数据，这些数据是通过声卡或其内置的软件合成器转换成数字音频的。DirectMusic API 支持以“乐器数字界面(MIDI)”格式进行输入，也支持压缩与未压缩的数字音频格式。DirectMusic 为软件开发人员提供了创建令人陶醉的动态音轨的能力，以响应软件环境中的各种更改，而不只是用户直接输入更改。Microsoft DirectInput API :为游戏提供高级输入功能并能处理游戏杆以及包括鼠标、键盘和强力反馈游戏控制器在内的其它相关设备的输入。Microsoft DirectPlay API:支持通过调制解调器、Internet 或局域网连接游戏。DirectPlay 简化了对通信服务的访问，并提供了一种能够使游戏彼此通信的方法而不受协议或联机服务的限制。DirectPlay 提供了多种游戏服务，可简化多媒体播放器游戏的初始化，同时还支持可靠的通信协议以确保重要游戏数据在网络上不会丢失。DirectPlay 8.0 的新功能即支持通过网络进行语音通信，从而可大大提高基于多媒体播放器小组的游戏的娱乐性，同时该组件还通过提供与玩游戏的其他人对话的功能而使团体游戏更具魅力。Microsoft DirectShow API:提供了可在您的计算机与Internet 服务器上进行高品质捕获与回放多媒体文件的功能。DirectShow 支持各种音频与视频格式，包括“高级流式格式(ASF)”、“音频-视频交错 (AVI)”、“数字视频(DV)”、“动画专家组 (MPEG)”、“MPEG 音频层3 (MP3)”、“Windows 媒体音频/视频(WMA/WMV)”以及 WAV 文件。DirectShow 还具有视频捕获、DVD 回放、视频编辑与混合、硬件加速视频解码以及调谐广播模拟与数字电视信号等功能。 [3-4]掌握播报编辑DirectX身为一种运算规则，其自身的运行环境必然是有严格规定的，也就是说DirectX是独为Windows服务的一种规则。那它的表达环境就是在英文中。而非中文。所以要想理解DirectX并且灵活运用，而并非仅仅理解这句话的构成，而是要彻底剖析英文的语言规律，也就是Windows的运行原理，Windows自身输入输出的方式。在这个基础上要理解Direct这个规则自然是水到渠成。这并非是说就不用去研究DirectX了，而是在了解根本原理的基础上去观察DirectX代码上的结构会很轻松。这里要说的就是DirectX自身很强大但学习起来并非很难，难在于原理的研究，不仅要看智商，更主要还要有耐心，几千页的原理并不是一年半载能看完的。研究完这些，至于语法上的规则那就不值一提了。DirectX最好从基础原理开始研究，虽然原理比较复杂，但这并不是说DirectX就没法去学了。当有一个新事物来到你面前时，你要从两个方面开始研究，一个是表面现象，也就是Direct的语言的规则与使用习惯、方法等。另一方面就是从已知条件中去推导出这个现象。意思是要从原理和代码两方面入手，从代码入手时记住了代码的习惯。紧接着了解这一点原理帮助自己去记忆，也能很快理解是怎么回事。也就是说我们虽然不赞同背代码，但也不能一点不记，我们虽然很赞同从原理入手，但从实际考虑，还是希望各位能量力而行。整体来讲学DirectX还是要有一定编程基础的，不建议一上来就学DirectX，DirectX毕竟是一个比较高深的东西。还是建议您对C++、Dos等一些语言比较精通的时候再回头研究DirectX。当然也不是不可能，例如3Ds Max就是基于DirectX的。做个模型、图像、动画还是可以的。当然也要看你从什么角度去学习了。发展历史播报编辑DirectX 1.0第一代的DirectX很不成功，推出时众多的硬件均不支持，当时基本都采用专业图形API－OpenGL，缺乏硬件的支持成了其流行的最大障碍。DirectX 1.0版本是第一个可以直接对硬件信息进行读取的程序。它提供了更为直接的读取图形硬件的性能（比如：显示卡上的块移动功能）以及基本的声音和输入设备功能（函数），使开发的游戏能实现对二维（2D）图像进行加速。第一代DirectX不包括所有的3D功能，还处于一个初级阶段。DirectX 2.0DirectX 2.0在二维图形方面做了些改进，增加了一些动态效果，采用了Direct 3D的技术。这样DirectX 2.0与DirectX 1.0有了相当大的不同。在DirectX 2.0中，采用了“平滑模拟和RGB模拟”两种模拟方式对三维(3D)图像进行加速计算的。DirectX 2.0同时也采用了更加友好的用户设置程序并更正了应用程序接口的许多问题。从DirectX 2.0开始，整个DirectX的设计架构雏形就已基本完成。DirectX 3.0DirectX 3.0的推出是在1997年最后一个版本的Windows95发布后不久，此时3D游戏开始深入人心，DirectX也逐渐得到软硬件厂商的认可。97年时应用程序接口标准共有三个，分别是专业的OpenGL接口，微软的DirectX D接口和3DFX公司的Glide接口。而那时的3DFX公司是最为强大的显卡制造商，它的Glide接口自然也受到最广泛的应用，但随着3DFX公司的没落，Voodoo显卡的衰败，Glide接口才逐渐消失了。DirectX 3.0是DirectX 2.0的简单升级版，它对DirectX 2.0的改动并不多。包括对DirectSound（针对3D声音功能）和DirectPlay（针对游戏/网络）的一些修改和升级。DirectX 3.0集成了较简单的3D效果，还不是很成熟。DirectX 5.0微软公司并没有推出DirectX 4.0，而是直接推出了DirectX 5.0。此版本对Direct3D做出了很大的改动，加入了雾化效果、Alpha混合等3D特效，使3D游戏中的空间感和真实感得以增强，还加入了S3的纹理压缩技术。同时，DirectX 5.0在其它各组件方面也有加强，在声卡、游戏控制器方面均做了改进，支持了更多的设备。因此，DirectX发展到DirectX 5.0才真正走向了成熟。此时的DirectX性能完全不逊色于其它3D API，而且大有后来居上之势。DirectX 6.0DirectX 6.0推出时，其最大的竞争对手之一Glide，已逐步走向了没落，而DirectX则得到了大多数厂商的认可。DirectX 6.0中加入了双线性过滤、三线性过滤等优化3D图像质量的技术，游戏中的3D技术逐渐走入成熟阶段。DirectX 7.0DirectX 7.0最大的特色就是支持T&L，中文名称是“坐标转换和光源”。3D游戏中的任何一个物体都有一个坐标，当此物体运动时，它的坐标发生变化，这指的就是坐标转换；3D游戏中除了场景+物体还需要灯光，没有灯光就没有3D物体的表现，无论是实时3D游戏还是3D影像渲染，加上灯光的3D渲染是最消耗资源的。虽然OpenGL中已有相关技术，但此前从未在民用级硬件中出现。在T&L问世之前，位置转换和灯光都需要CPU来计算，CPU速度越快，游戏表现越流畅。使用了T&L功能后，这两种效果的计算用显示卡的GPU来计算，这样就可以把CPU从繁忙的劳动中解脱出来。换句话说，拥有T&L显示卡，使用DirectX 7.0，即使没有高速的CPU，同样能流畅的跑3D游戏。DirectX 8.0DirectX 8.0的推出引发了一场显卡革命，它首次引入了“像素渲染”概念，同时具备像素渲染引擎(Pixel Shader)与顶点渲染引擎(Vertex Shader)，反映在特效上就是动态光影效果。同硬件T&L仅仅实现的固定光影转换相比，VS和PS单元的灵活性更大，它使GPU真正成为了可编程的处理器。这意味着程序员可通过它们实现3D场景构建的难度大大降低。通过VS和PS的渲染，可以很容易的营造出真实的水面动态波纹光影效果。此时DirectX的权威地位终于建成。DirectX 9.02002年底，微软发布DirectX9.0。DirectX 9中PS单元的渲染精度已达到浮点精度，传统的硬件T&L单元也被取消。全新的VertexShader(顶点着色引擎)编程将比以前复杂得多，新的VertexShader标准增加了流程控制，更多的常量，每个程序的着色指令增加到了1024条。PS 2.0具备完全可编程的架构，能对纹理效果即时演算、动态纹理贴图，还不占用显存，理论上对材质贴图的分辨率的精度提高无限多；另外PS1.4只能支持28个硬件指令，同时操作6个材质，而PS2.0却可以支持160个硬件指令，同时操作16个材质数量，新的高精度浮点数据规格可以使用多重纹理贴图，可操作的指令数可以任意长，电影级别的显示效果轻而易举的实现。VS 2.0通过增加Vertex程序的灵活性，显著的提高了老版本(DirectX8)的VS性能，新的控制指令，可以用通用的程序代替以前专用的单独着色程序，效率提高许多倍；增加循环操作指令，减少工作时间，提高处理效率；扩展着色指令个数，从128个提升到256个。增加对浮点数据的处理功能，以前只能对整数进行处理，这样提高渲染精度，使最终处理的色彩格式达到电影级别。突破了以前限制PC图形图象质量在数学上的精度障碍，它的每条渲染流水线都升级为128位浮点颜色，让游戏程序设计师们更容易更轻松的创造出更漂亮的效果，让程序员编程更容易。DirectX 9.0c与过去的DirectX 9.0b和Shader Model 2.0相比较，DirectX 9.0c最大的改进，便是引入了对Shader Model 3.0(包括Pixel Shader 3.0 和Vertex Shader 3.0两个着色语言规范)的全面支持。举例来说，DirectX 9.0b的Shader Model 2.0所支持的Vertex Shader最大指令数仅为256个，Pixel Shader最大指令数更是只有96个。而在最新的Shader Model 3.0中，Vertex Shader和Pixel Shader的最大指令数都大幅上升至65535个，全新的动态程序流控制、位移贴图、多渲染目标（MRT）、次表面散射 Subsurface scattering、柔和阴影Soft shadows、环境和地面阴影Environmental and ground shadows、全局照明（Global illumination）等新技术特性，使得GeForce 6、GeForce 7系列以及Radeon X1000系列立刻为新一代游戏以及具备无比真实感、幻想般的复杂的数字世界和逼真的角色在影视品质的环境中活动提供强大动力。因此DirectX 9.0c和Shader Model 3.0标准的推出，可以说是DirectX发展历程中的重要转折点。在DirectX 9.0c中，Shader Model 3.0除了取消指令数限制和加入位移贴图等新特性之外，更多的特性都是在解决游戏的执行效率和品质上下功夫，Shader Model 3.0诞生之后，人们对待游戏的态度也开始从过去单纯地追求速度，转变到游戏画质和运行速度两者兼顾。因此Shader Model 3.0对游戏产业的影响可谓深远。DirectX 10.0包含在Windows Vista操作系统中，无法单独下载使用。新的DirectX使你获得更好的图像显示质量，使多人游戏具可伸缩性，以及包括更棒的音频效果。它强化了针对DirectDraw和Direct3D的接口，简化了应用扩展，提升性能；改善了图形创作工具，更易于做出最佳的3-D角色和环境；点光源式光影和像素式光影使图象更逼真；强化了DirectSound和DirectMusic，简化了其应用扩展；DLS2音频合成功能提高了乐器音频的真实感；DirectInput的设备影射功能令对设备的支持更简单；DirectPlay使多人游戏的性能和可扩展性得到了提高； DirectPlay提供了IP声音通讯；DirectShow的应用编程接口提供了音频/视频的实时合成和即时编辑；DirectShow支持Windows媒体音频和视频(WMA和WMV)的读写； Microsoft TV技术可以支持数字电视节目。当然，最重要的是一些新游戏需要它。DirectX Redist通常每两个月更新一次，包含了DirectX Runtimes的所有更新，可以替代此前发布的旧版本，适合Windows XP、Windows Server 2003、Windows Vista等操作系统，不支持Windows 9x/2000。一般最新的3D游戏等应用程序都需要新的DirectX接口，因此强烈推荐更新。Vista DX10用户也同样需要。显卡所支持的DirectX版本已成为评价显卡性能的标准，从显卡支持什么版本的DirectX，用户就可以分辨出显卡的性能高低，从而选择出适合于自己的显卡产品。DirectX 10.1正如以前的DX版本一样，DX10.1也是DX10的超集，因此它将支持DirectX 10的所有功能，同时它将支持更多的功能，提供更高的性能。DX10.1的一个主要提高是改善的shader资源存取功能，在多样本AA时，在读取样本时有更好的控制能力。除此之外，DX10.1还将可以创建定制的下行采样滤波器。DX10.1还将有更新的浮点混合功能，对于渲染目标更有针对性，对于渲染目标混合将有新的格式，渲染目标可以实现独立的各自混合。阴影功能一直是游戏的重要特效，Direct3D 10.1 的阴影滤波功能也将有所提高，从而可望进一步提高画质。在性能方面，DirectX 10.1将支持多核系统有更高的性能。而在渲染，反射和散射时，Direct3D 10.1将减少对API的调用次数，从而将获得不错的性能提升。其他方面，DX10.1的提高也不少，包括32bit浮点滤波，可以提高渲染精确度，改善HDR渲染的画质。完全的抗锯齿应用程序控制也将是DX10.1的亮点，应用程序将可以控制多重采样和超级采样的使用，并选择在特定场景出现的采样模板。DX10.1将至少需要单像素四采样。DX10.1还将引入更新的驱动模型，WDDM 2.1。与DX10的WDDM2.0相比，2.1有一些显著的提高。首先是更多的内容转换功能，WDDM2.0支持处理一个命令或三角形后进行内容转换，而WDDM2.1则可以让内容转换即时进行。由于GPU同时要并行处理多个线程，因此内容转换的即时性不仅可以保证转换质量，还可以提升GPU效率，减少等待时间。另外，由于WDDM 2.1支持基于过程的虚拟内存分配，处理GPU和驱动页面错误的方式也更为成熟。微软预计将在两周之内(2008年7月中旬)宣布新一代API：DirectX 11。消息来源指出，微软将在7月22日举办的Gamefest 2008上宣布新一代API，此前我们得到有关DirectX 11的最新消息是NVIDIA将在八月末的“NVISION 08”会议上讲解DirectX 11。由微软举办的Gamefest 2008大会将于7月22-23日在西雅图召开，Gamefest 2008大会是微软每年一度的游戏技术探讨盛会，所以有关下一代游戏技术接口API的消息自然也是少不了的话题。DirectX 11引入最大新技术特征无疑是Tessellation/Displacement，我们还听说了多线程渲染、Compute Shaders也将是DirectX 11中重要环节，另外据说DirectX 11还将引入Shader Model 5.0，具体细节信息尚不明确，Ray Tracing(光线跟踪)与Rasterization(光栅化)技术的支持也还没有提及。DirectX 112009年1月9日星期五，微软将面向公众发布Windows 7客户端Beta 1测试版。而此前一天，即1月8日，微软将率先发布Windows 7服务器版本的Beta 1测试版。在微软发布的Windows 7Beta版本中，一些已经安装使用的用户的发现了DirectX 11已经包含其中了。DirectX 11作为3D图形接口，不仅支持未来的DX11硬件，还向下兼容当前的DirectX 10和10.1硬件。DirectX 11增加了新的计算shader技术，可以允许GPU从事更多的通用计算工作，而不仅仅是3D运算，这可以鼓励开发人员更好地将GPU作为并行处理器使用。在微软发布的Windows 7 Beta版本中，已包含DirectX 11另外，DirectX 11还支持tessellation镶嵌化技术，这有助于开发人员创建更为细腻流畅的模型，实现高质量实时渲染和预渲染场景。多线程是DirectX 11的另外一大亮点，DX11可以更好地利用多线程资源，从而使游戏更有效地利用多核处理器。DirectX 11.1微软2011年10月15日公布了一份白皮书“Windows开发者预览版中的Windows驱动模型增强”，洋洋洒洒地深入介绍了Windows 8在图形技术方面的改进。根据白皮书，Windows 8将会支持新版显示驱动模型WDDM1.2，高于Windows 7 WDDM 1.1，但同时会放弃对服务器系统中XDDM的支持，全部转向WDDM。DirectX方面最关键的是当然引入Direct3D 11.1，同时还会有平滑旋转、立体3D、D3D11 Video等功能技术。微软称，即使是低端硬件，只要能够利用好DirectX的优势，也能够在Windows 8上来更好的性能。DirectX 11.22013年6月28日，微软发布Directx11.2（Alpha版），其中一个重要特性是允许游戏使用系统内存和显存储存纹理数据，微软的Antoine Leblond在BUILD大会上演示了主要利用内存而不是显存去储存9GB纹理数据。这项特性对于未来的高清游戏具有重要意义。然而一个问题是，DirectX 11.2不支持Windows 8及之前操作系统，只支持Windows 8.1和下一代主机Xbox One。DirectX 122014年3月21日，微软正式发布了新一代的API DirectX 12 [1]。虽然算不上全新设计，虽然细节公布得还不是特别多，但至少不是Mantle的直接翻版，还是有微软与合作伙伴设计的不少新东西的。DX12最重要的变化就是更底层API [4]，这一点很像AMD Mantle，在硬件抽象层上走得比以往更深入，能够同时减轻CPU、GPU的过载(overload)。具体包括：应用可追踪GPU流水线、控制资源状态转换(比如从渲染目标到纹理)、控制资源重命名，更少的API和驱动跟踪，可预判属性，等等。另外，DX12大大提高了多线程效率，可以充分发挥多线程硬件的潜力。DX11在这方面受CPU性能的严重制约，主要是因为不能有效利用多核心。微软宣称，微软对多核心CPU的利用几乎是线性增长的，也就是说四核心能接近单核心的四倍。此外还有渲染流水线、渲染特性、资源管理、命令列表与绑定、描述符跳跃等等方面的改进，因为主要是关于开发的，也比较深晦，这里就先不说太多了。NVIDIA确认说，开普勒、费米、麦克斯韦架构全部都支持DX12，也就是GeForce 400系列以来的型号都可以，DX11的都行。AMD则确认，GCN架构的所有显卡均支持DX12，也就是Radeon HD 7000、Radeon R200系列 [5]。Intel确认称，第四代Haswell可以支持DX12，但其实仅限最高端的两个型号：GT3 Iris 5100、GT3e Iris Pro 5200。打开方法播报编辑有时候重装系统后发现很多3D游戏都不能运行，只有一些传统2D平面游戏还能勉强运行，而且速度很慢。这并不是因为Windows 2003不支持3D游戏，而是系统设置的问题。解决方法：首先请确保以正确的方式安装好显卡驱动，然后就要打开DirectX加速。DirectX加速是3D游戏最基本的需要，为了使Windows 更为单一地面向服务器平台应用，微软默认将其加速功能关闭。即便是在安装了最新的DirectX 10.0之后也不会自动打开加速功能，而必须手动设置。在“开始”→“运行”对话框中输入“dxdiag”以打开DirectX诊断工具。随后在显示一栏中将DirectDraw、Direct3D、AGP纹理加速功能启用。如此一来，Windows Server 2003便能运行各种3D游戏。除此以外，Windows Server 2003还默认关闭了硬件加速，可以在显示属性的高级菜单中将其设置为完全加速。据国外媒体SoftPedia曝光的英特尔产品路线图显示，Sandy Bridge整合的是英特尔第6代图形核心，支持DirectX 10.1和OpenGL 3.0；到了Ivy Bridge则进化至第7代，可支持DirectX 11和OpenGL 3.1；到了2013年，同为22nm但架构再度进化的Haswell处理器诞生，其将整合增强版的第7代英特尔图形核心，可支持OpenGL 3.2和DirectX 11.1，而推荐使用的操作系统则是64位的Windows 8。 [3]Haswell将会采用Tri-Gate 22nm制造工艺技术，并且采用可调节的TDP技术，以在性能和节能方面，获得更好平衡。同时Haswell还将会采用新的AVX2指令集，尚不知道具体发布时间，不过从已了解蓝图来看，服务器Haswell产品将会在2014年Q1发布。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

DirectX 12 Technology | NVIDIA

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DirectX 12

开发人员现在可以充分利用新的显卡 API，将功能强大的 GPU 图形融入自己极具创新意义的游戏中。GeForce 显卡支持 DirectX 12 (DX12) 高级功能，可以应用强大的新视觉效果和渲染技术，打造更逼真的游戏体验。

使用 DX 12 塑造全新的现实环境

自从在 2014 年游戏开发者大会 (GDC) 上推出该 API 以来，GeForce 已成为微软 DirectX 12 关键演示的首选 GPU。将速度超快的 GPU 硬件与高质量显卡驱动程序结合使用，可充分展示 Windows 10 和 DX 12 的新一代功能。

DX 12 和 Windows Display Driver Model (WDDM) 2.0 驱动程序给予游戏玩家更高的效率和性能。GeForce Game Ready 驱动程序与 DX 12 一起使用时效率更高，可更大幅降低软件性能消耗，降低 CPU 占用率，提高 GPU 利用率，最终实现性能的提升。

在开发 DX 12 的过程中，NVIDIA 已与微软合作很多年，我们在设计中将对 DX 12 的主要硬件支持都集成到所有 NVIDIA GPU 架构中，旨在最大限度地增强功能和性能。DX 12 为游戏开发者提供了前所未有的硬件资源底层访问权，允许他们真正根据 GeForce GPU 架构定制自己的游戏，并充分利用其各项功能。

DX 12 支持图形功能，可让游戏开发者创作出惊人的全新视觉效果和游戏杰作。

DX12 支持的图形功能包括：

Volume Tiled Resources

Conservative Raster

Raster Order Views

Tiled Resources

Typed UAV Access

Bindless Textures

Asynchronous Compute

搭配使用 Microsoft DXR

在增加了微软 DirectX Raytracing (DXR) API 后，DirectX 12 向前迈进了一大步。DX 12 的这一扩展浑然天成，将光线追踪功能完全整合到 DirectX 中，使其成为光栅化计算技术的理想搭档（而非替代品）。NVIDIA 与微软密切合作，将让基于 DXR 技术的应用程序完全支持 RTX 技术。

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《DirectX》游戏运行库修复工具v3.8官方版

补丁类型：装机必备

整理时间：2023-11-28

大小：87.57MB

补丁语言：多国

版本：v3.8

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大名鼎鼎得DX工具最新3.8官方版本《DirectX》游戏运行库修复工具v3.8官方版，一键修复你的电脑在运行各种游戏时出现的“0xc0000***”等等的问题，是非常简单的修复工具，欢迎前来3DM下载使用!

软件简介

功能说明

redist(Jun2010)，并且全部DX文件都有Microsoft的数字签名，安全放心。

注意事项

根据电脑系统进行分类修复，需要用户选择自己电脑对应的系统安装EXE文件

使用说明

1、下载资源后在任意文件夹解压缩文件；

2、跟据自己的电脑系统选择对应exe文件，打开

3、点击右上角的检测并修复，等待即可；

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DirectX修复工具全部文件修复失败或下载失败的解决方法？

“安全级别” 。具体操作如下截图：

然后点击确定，重新检测并修复即可！

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